Линейные задачи оптимизации. Ч.2. Оптимальное управление линейными динамическими объектами. Лутманов С.В. - 47 стр.

                            1. ЛИНЕЙНЫЕ УПРАВЛЯЕМЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ ОБЪЕКТЫ

           x1 = 2 x1 + 4 x 2 − 16 x3 + u1 ,                                    x1 = −3x1 − x2 − 5 x3 + u1 ,
     в) x 2 = 2 x1 − x 2 + 21x3 + u 2 ,                                  г) x2 = x1 − x2 + u2 ,
           x3 = −2 x1 − 2 x 2 + x3 + u 3 ,                                     x3 = x1 + x2 + 2 x3 + u3 .


     1. Записать дифференциальные уравнения движения в матричной форме.
     2. Для однородных систем линейных дифференциальных уравнений, со-
ответствующих заданным неоднородным системам, построить фундаменталь-
ную матрицу Коши двумя способами: с использованием операции обращения
матрицы и без использования. Убедиться в том, что оба метода строят одну и ту
же матрицу. Проверить выполнение свойств (3.1)-(3.4) фундаментальной мат-
рицы Коши.
     3. Проверить справедливость формулы Коши (5.1) при следующих до-
полнительных данных:
                ⎛ 1⎞                                                            ⎛ −1 ⎞
                ⎜ ⎟                                                             ⎜ ⎟
        x0 = ⎜1⎟ , t0 = 0, T = 1,                                       x0 = ⎜ 1 ⎟ , t0 = 0, T = 1,
     а)         ⎜ 1⎟                                                 б)         ⎜ −1 ⎟
                ⎝ ⎠                                                             ⎝ ⎠
        u1 ( t ) = sin t , u2 ( t ) = cos t , u3 ( t ) = et ,           u1 ( t ) = t , u2 ( t ) = e −t , u3 ( t ) = cos t ,



                ⎛1⎞                                                             ⎛ −1 ⎞
                ⎜ ⎟                                                             ⎜ ⎟
        x0 = ⎜ −1⎟ , t0 = 0, T = 1,                                     x0 = ⎜ −1⎟ , t0 = 0, T = 1,
     в)         ⎜1⎟                                                  г)         ⎜1⎟
                ⎝ ⎠                                                             ⎝ ⎠
        u1 ( t ) = sin t , u2 ( t ) = t 2 , u3 ( t ) = et ,             u1 ( t ) = et , u2 ( t ) = sin t , u3 ( t ) = − cos t.



     4. Вычислить критерии оптимальности для движений, отвечающих ука-
занным в пункте 3 задания управлениям и выходящих из приведенных там же
начальных положений
          I ⎡⎣u ( ⋅) ⎤⎦ =                                                      I ⎡⎣u ( ⋅) ⎤⎦ =
             1                                                                    1
     а) = ∫ x1 (τ ) u1 (τ ) + x2 (τ ) u2 (τ ) + x3 (τ ) u3 (τ ) dτ +      б) = ∫ x1 (τ ) + x2 (τ ) + x3 (τ ) dτ +
             0                                                                    0

         + x ( 0 ) + x ( 0 ) − 2 x1 (1) x2 (1) x3 (1)
             2
             1
                            2
                            2                                                  + x12 ( 0 ) + x2 (1) + x3 ( 0 )




                                                                47