Линейные задачи оптимизации. Ч.2. Оптимальное управление линейными динамическими объектами. Лутманов С.В. - 49 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГНИУ | Пермь

Составители: 

Рубрика: 

2. ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ЛИНЕЙНЫМИ ДИНАМИЧЕСКИМИ ОБЪЕКТАМИ С ФИКСИРОВАН-
НЫМ ВРЕМЕНЕМ И ТЕРМИНАЛЬНЫМ КРИТЕРИЕМ КАЧЕСТВА
49
2. ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ЛИНЕЙНЫМИ
ДИНАМИЧЕСКИМИ ОБЪЕКТАМИ С ФИКСИРОВАННЫМ
ВРЕМЕНЕМ И ТЕРМИНАЛЬНЫМ КРИТЕРИЕМ КАЧЕСТВА
2.1. Случай закрепленного левого конца и свободного правого конца
траектории. Рассматривается следующая задача теории оптимального управ-
ления.
Задача 1. Найти допустимую программную стратегию
()
[
]
0
0
,UtT⋅∈Π ,
доставляющую минимум функционалу
(
)
(
)
(
)
(
)
11
,
I
UxTCR⋅=Φ Φ∈
⎡⎤
⎣⎦
при ограничениях
()
(
)
(
)
,,
nr
x
At x Btu Ct x R u P R=++ ∈∈⊂
,
{
}
{
}
{
}
001 0 01
,, ,
n
tTSxSR
θθ
=== =,
где множество
n
PR⊂ является выпуклым компактом.
По теореме 1.6 область достижимости
(
)
00
,,Gt x T является компактом в
пространстве
n
R
. Тогда в силу непрерывности функции Φ решение задачи 1
существует.
Пусть
()
0
U ⋅ - оптимальная программная стратегия. Обозначим через
() ()
()
00
00
,, ,xxtxU⋅= ⋅ ⋅
оптимальное движение объекта, а через
()
0
ψ
⋅ - решение со-
пряженной системы дифференциальных уравнений (1.3.7), удовлетворяющее
условию
() ()
()
00
TxT
x
ψ
Φ
=−
∂
.
Теорема 1 (принцип максимума Л.С. Понтрягина). Оптимальная про-
граммная стратегия
()
0
U ⋅
удовлетворяет следующему условию максимума:
()
(
)
(
)
(
)
(
)
00 0
,max,
uP
B
tU t t Btu t
ψψ
∈
= (1)
для почти всех
[
]
0
,ttT∈ . 
 2. ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ЛИНЕЙНЫМИ ДИНАМИЧЕСКИМИ ОБЪЕКТАМИ С ФИКСИРОВАН-
               НЫМ ВРЕМЕНЕМ И ТЕРМИНАЛЬНЫМ КРИТЕРИЕМ КАЧЕСТВА
              2. ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ЛИНЕЙНЫМИ
         ДИНАМИЧЕСКИМИ ОБЪЕКТАМИ С ФИКСИРОВАННЫМ
       ВРЕМЕНЕМ И ТЕРМИНАЛЬНЫМ КРИТЕРИЕМ КАЧЕСТВА


       2.1. Случай закрепленного левого конца и свободного правого конца
траектории. Рассматривается следующая задача теории оптимального управ-
ления.
       Задача 1. Найти допустимую программную стратегию U 0 ( ⋅) ∈ Π [t0 , T ] ,

доставляющую минимум функционалу
                                    I ⎡⎣U ( ⋅) ⎤⎦ = Φ ( x (T ) ) , Φ ∈ C1 ( R1 )

при ограничениях
                          x = A (t ) x + B (t ) u + C (t ) , x ∈ Rn , u ∈ P ⊂ Rr ,

                                 θ 0 = {t0 } , θ1 = {T } , S0 = { x0 } , S1 = R n ,

где множество P ⊂ R n является выпуклым компактом.
       По теореме 1.6 область достижимости G ( t0 , x0 , T ) является компактом в

пространстве R n . Тогда в силу непрерывности функции Φ решение задачи 1
существует.
       Пусть U 0 ( ⋅) - оптимальная программная стратегия. Обозначим через

x 0 ( ⋅) = x ( ⋅, t0 , x0 , U 0 ( ⋅) ) оптимальное движение объекта, а через ψ 0 ( ⋅) - решение со-

пряженной системы дифференциальных уравнений (1.3.7), удовлетворяющее
условию
                                                          ∂Φ 0
                                          ψ 0 (T ) = −
                                                          ∂x
                                                             ( x (T ) ) .
       Теорема 1 (принцип максимума Л.С. Понтрягина). Оптимальная про-
граммная стратегия U 0 ( ⋅) удовлетворяет следующему условию максимума:

                                  B ( t ) U 0 ( t ) , ψ 0 ( t ) = max B ( t ) u, ψ 0 ( t )     (1)
                                                                 u∈P


для почти всех t ∈ [t0 , T ] .




                                                         49

Страницы