Линейные задачи оптимизации. Ч.2. Оптимальное управление линейными динамическими объектами. Лутманов С.В. - 51 стр.

2. ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ЛИНЕЙНЫМИ ДИНАМИЧЕСКИМИ ОБЪЕКТАМИ С ФИКСИРОВАН-
              НЫМ ВРЕМЕНЕМ И ТЕРМИНАЛЬНЫМ КРИТЕРИЕМ КАЧЕСТВА
что и означает выполнение условия (1). Теорема доказана.
    Функция
                            H ( t , x, u,ψ ) = A ( t ) x + B ( t ) u + C ( t ) , ψ

представляет собой функцию Л.С. Понтрягина [25] для рассматриваемого
управляемого динамического объекта. Таким образом, доказанная теорема ут-
верждает, что на оптимальном управлении функция Л.С. Понтрягина достигает
максимального значения.
     Заметим, что для выпуклых функций Φ неравенство (2) является доста-
точным условием минимума функции Φ на множестве G ( t0 , x0 , T ) . Тогда усло-

                                вие (1) будет не только необходимым, но и доста-
                                точным для оптимальности программной стратегии
           M                    U 0 ( ⋅) .

                                             Пример 1. Рассмотрим линейный управляе-
           M∗
                                мый динамический объект
         U0            x1                                   ⎛u ⎞         ⎧⎪⎛ u ⎞                    ⎫⎪
                                    x1 = u1 , x2 = u2 , u = ⎜ 1 ⎟ ∈ P = ⎨⎜ 1 ⎟ ∈ R 2 u1 ≤ 1, u2 ≤ 1⎬ ,
           0                                                ⎝ u2 ⎠      ⎩⎪⎝ u2 ⎠                   ⎭⎪

                                             ⎛ x10 ⎞ ⎛ 0 ⎞
                                             ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ , t0 = 0, T = 1, Φ ( x ) = x1 + ( x2 − 2 ) .
                                                                                   2             2

                                             ⎝ x20 ⎠ ⎝ 0 ⎠
  Рис. 1
                                             Оптимальное управление объектом, как вид-
но из рис. 1, здесь состоит в том, чтобы перевести управляемую точку из на-
                                             ⎛ x10 (1) ⎞ ⎛ 1 ⎞
чала координат в положение M ∗ ÷ ⎜⎜                    ⎟⎟ = ⎜ ⎟ . Это можно осуществить толь-
                                             ⎝ x 0
                                                 2 (1)  ⎠ ⎝0⎠

ко программной стратегией вида
                                   ⎛ u0 (t ) ⎞ 1 0
                        U 0 (t ) = ⎜ 1       ⎟ , ∫ u1 (τ )dτ = 0, t ∈ [ 0,1] .                        (4)
                                   ⎝ 1 ⎠ 0

Проверим выполнение условий теоремы 1 для таких стратегий. Сопряженная
система дифференциальных уравнений и граничные условия для нее здесь име-
ют вид
                                         ψ 1 = 0, ψ 2 = 0,


                                                   51