Линейные задачи оптимизации. Ч.2. Оптимальное управление линейными динамическими объектами. Лутманов С.В. - 52 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГНИУ | Пермь

Составители: 

Рубрика: 

2. ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ЛИНЕЙНЫМИ ДИНАМИЧЕСКИМИ ОБЪЕКТАМИ С ФИКСИРОВАН-
НЫМ ВРЕМЕНЕМ И ТЕРМИНАЛЬНЫМ КРИТЕРИЕМ КАЧЕСТВА
52
()
(
)
()
()
()
()
()
()
()
()
()
()
0
1
1
22
00
12
0
2
2
22
00
12
1
10,
112
12
11.
112
x
xx
x
xx
ψ
ψ
=
−=
+−
−
=
−=
+−
Интегрируя, находим, что
(
)
(
)
[
]
00
12
0, 1, 0,1ttt
ψ
ψ
≡≡∈.
Выпишем функцию Л.С. Понтрягина, вычисленную вдоль оптимальной пары
() ()
()
00
,x
ψ
⋅⋅. Имеем
()
(
)
()
(
)
(
)
[
]
000 0
11122
,,, ,0,1Htx t u t tu tu u t
ψψ ψ
=+=∈.
Отсюда следует, что
()
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
[
]
12 2
00 0 0
1112 2
1, 1 1
max , , , max max 1, 0,1
uP u u u
Htx t u t tu tu u t
ψψψ
∈≤≤≤
=+==∈. (5)
Очевидно, что программное управление (4) доставляет максимум в (5) и, сле-
довательно, удовлетворяет условию (1).
Практическое применение теоремы 1 для поиска решения задачи управле-
ния осуществляется следующим образом.
Для каждого фиксированной пары
(
)
[
]
0
,,
n
ttTR
ψ
∈
×
решается задача
математического программирования
(
)
,max,
Tр
tu uP
ψ
→∈
. (6)
Распишем подробнее левую часть условия (6). Имеем
()
() ()
() ()
()
()
1
1
11 1 1
1
1
n
kk
k
n
Tр
n
rnrn
kr k
k
bt
bt bt
Bt
bt bt
bt
ψ
ψ
ψ
ψ
ψ
=
=
⎛⎞
⎜⎟
⎛⎞
⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
==⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
⎝⎠
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
∑
∑

.
Тогда задача математического программирования принимает вид
() ()
1
11
11
max,
nn
kk rkrk
kk
r
u
ubt ubt P
u
ψψ
==
⎛⎞
⎛⎞⎛⎞
⎜⎟
++ → ∈
⎜⎟⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠⎝⎠
⎜⎟
⎝⎠
∑∑

. (7) 
2. ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ЛИНЕЙНЫМИ ДИНАМИЧЕСКИМИ ОБЪЕКТАМИ С ФИКСИРОВАН-
              НЫМ ВРЕМЕНЕМ И ТЕРМИНАЛЬНЫМ КРИТЕРИЕМ КАЧЕСТВА
                                                                 x10 (1)
                                  ψ 1 (1) = −                                           = 0,
                                                   ( x (1) ) + ( x (1) − 2 )
                                                       0        2      0           2
                                                       1               2

                                                              x20 (1) − 2
                                  ψ 2 (1) = −                                           = 1.
                                                    ( x (1) ) + ( x (1) − 2 )
                                                       0        2      0            2
                                                       1               2


Интегрируя, находим, что
                                       ψ 10 ( t ) ≡ 0, ψ 20 ( t ) ≡ 1, t ∈ [ 0,1] .

Выпишем функцию Л.С. Понтрягина, вычисленную вдоль оптимальной пары
( x (⋅) ,ψ (⋅) ) . Имеем
  0      0




                      H ( t , x 0 ( t ) , u ,ψ 0 ( t ) ) = ψ 10 ( t ) u1 +ψ 10 ( t ) u2 = u2 , t ∈ [ 0,1] .

Отсюда следует, что
               max H ( t , x 0 ( t ) , u ,ψ 0 ( t ) ) = max (ψ 10 ( t ) u1 +ψ 10 ( t ) u2 ) = max u2 = 1, t ∈ [ 0,1] . (5)
                u∈P                                    u1 ≤1, u2 ≤1                                  u2 ≤1


Очевидно, что программное управление (4) доставляет максимум в (5) и, сле-
довательно, удовлетворяет условию (1).
      Практическое применение теоремы 1 для поиска решения задачи управле-
ния осуществляется следующим образом.
      Для каждого фиксированной пары ( t ,ψ ) ∈ [t0 , T ] × R n                                              решается задача
математического программирования
                                           BTр ( t )ψ , u → max,              u∈P .                                      (6)

Распишем подробнее левую часть условия (6). Имеем
                                                                                  ⎛ n                 ⎞
                                  ⎛ b11 ( t )               bn1 ( t ) ⎞ ⎛ ψ 1 ⎞   ⎜ ∑    bk1 ( t )ψ k ⎟
                                                                      ⎟⎜ ⎟ ⎜                          ⎟
                                                                                    k =1
                                  ⎜
                       B ( t )ψ = ⎜
                           Tр
                                                                      ⎟⎜ ⎟      = ⎜                   ⎟ .
                                  ⎜ b (t )                            ⎟ ⎜     ⎟   ⎜ n                 ⎟
                                  ⎝ 1r                      bnr ( t ) ⎠ ⎝ψ n ⎠ ⎜                      ⎟
                                                                                  ⎜ ∑ bkr ( t )ψ k ⎟
                                                                                  ⎝ k =1              ⎠

Тогда задача математического программирования принимает вид
                                                                                               ⎛ u1 ⎞
                     ⎛ n               ⎞              ⎛ n              ⎞                       ⎜ ⎟
                  u1 ⎜ ∑ bk 1 ( t )ψ k ⎟ +       + ur ⎜ ∑ bkr ( t )ψ k ⎟ → max,                ⎜ ⎟∈ P .                  (7)
                     ⎝ k =1            ⎠              ⎝ k =1           ⎠                       ⎜u ⎟
                                                                                               ⎝ r⎠




                                                               52

Страницы