Линейные задачи оптимизации. Ч.2. Оптимальное управление линейными динамическими объектами. Лутманов С.В. - 50 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГНИУ | Пермь

Составители: 

Рубрика: 

2. ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ЛИНЕЙНЫМИ ДИНАМИЧЕСКИМИ ОБЪЕКТАМИ С ФИКСИРОВАН-
НЫМ ВРЕМЕНЕМ И ТЕРМИНАЛЬНЫМ КРИТЕРИЕМ КАЧЕСТВА
50
Доказательство. Из выпуклости области достижимости
()
00
,,Gt x T в си-
лу [7 ] следует, что для всех
(
)
00
,,qGtxT∈ имеет место неравенство
()
()
() () () () () ()
00 00000
0, , , ,
x
TqxT TqxT TxT Tq
x
ψψψ
∂Φ
≤−=−−=−
∂
. (2)
Тогда для всех
()
[
]
0
,utT⋅∈Π
должно выполняться
()
[] []
() ()
[]
()
00
00
00
,, , ,
TT
tt
TXTtx XT B U d XT C d
ψτττττττ
++−
∫∫
()
[] []
()()
[]
()
00
0
00
,, , ,
TT
tt
TXTtx XT B u d XT C d
ψτττττττ
−+ +=
∫∫
()
[]
() () ()
[]
()()
0 0
000
,, ,, 0
TT
tt
TXTBU d TXTBud
ψττττψττττ
=−≥
∫∫
.
Последнее возможно, только если
()
[]
() ()
()
[]
()
[]
()()
0
0 0
00 0
,
,, max ,,
TT
utT
tt
TXTBU d TXTBud
ψ
ττ ττ ψ ττττ
⋅∈Π
=
∫∫
. (3)
Последовательно преобразуем левую и правую части равенства (3). Имеем
()
[]
() ()
()
[]
()
[]
()()
0
0 0
00 0
,
,, max ,,
TT
utT
tt
TXT B U d TXT B u d
ψ
ττ ττ ψ ττττ
⋅∈Π
=
∫∫
⇒
()
[]
() ()
()
[]
()
[]
()()
0
0 0
01 0 01
,
,, max ,,
TT
utT
tt
TX TB U d TX TB u d
ψ
ττττ ψ ττττ
−−
⋅∈Π
=
∫∫
⇒
[]
{}
() () ()
()
[]
[]
{}
() ()()
0
0 0
10 0 10
,
,, max,,
T T
Tр Tр
utT
t t
X
TTBUd XTTBud
τ
ψτττ τψτττ
− −
⋅∈Π
=
∫∫
.
Отсюда в силу (1.5.2) выводим
() () ()
()
[]
() ()()
0
0 0
00 0
,
,max,
TT
utT
tt
Ud Bud
ψ
ττττ ψττττ
⋅∈Π
=
∫∫
В книге [18 ] показано, что
()
[]
() ()() () ()
0
00
00
,
max , max ,
TT
utT uP
tt
B
ud Bud
ψ
ττττ ψτττ
⋅∈Π ∈
=
∫∫
.
Тогда
() () () () ()
0
00 0
,max,0
T
uP
t
BU Bud
ψτ τ τ ψτ τ τ
∈
⎡⎤
−
=
⎣⎦
∫
, 
2. ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ЛИНЕЙНЫМИ ДИНАМИЧЕСКИМИ ОБЪЕКТАМИ С ФИКСИРОВАН-
              НЫМ ВРЕМЕНЕМ И ТЕРМИНАЛЬНЫМ КРИТЕРИЕМ КАЧЕСТВА
          Доказательство. Из выпуклости области достижимости G ( t0 , x0 , T ) в си-

лу [7 ] следует, что для всех q ∈ G ( t0 , x0 , T ) имеет место неравенство
                         ∂Φ 0
           0≤
                         ∂x
                            ( x (T ) ) , q − x 0 (T ) = − ψ 0 (T ) , q − x 0 (T ) = ψ 0 (T ) , x 0 (T ) − ψ 0 (T ) , q .                                                       (2)

Тогда для всех u ( ⋅) ∈ Π [t0 , T ] должно выполняться
                                                                      T                                                         T
                            ψ (T ) , X [T , t0 ] x0 + ∫ X [T ,τ ]B (τ )U (τ ) dτ + ∫ X [T ,τ ]C (τ ) dτ −
                                 0                                                                     0

                                                                      t0                                                        t0


                                                                           T                                                    T
                           − ψ 0 (T ) , X [T , t0 ] x0 + ∫ X [T ,τ ]B (τ ) u (τ ) dτ + ∫ X [T ,τ ]C (τ ) dτ =
                                                                           t0                                                   t0


                                                T                                                                     T
                    = ψ      0
                                 (T ) , ∫ X [T ,τ ]B (τ )U (τ ) dτ         0
                                                                                         − ψ           0
                                                                                                            (T ) , ∫ X [T ,τ ]B (τ ) u (τ ) dτ                ≥ 0.
                                               t0                                                                     t0


Последнее возможно, только если
                                          T                                                                                          T
                         ψ 0 (T ) , ∫ X [T ,τ ]B (τ ) U 0 (τ ) dτ = max                                           ψ 0 (T ) , ∫ X [T ,τ ]B (τ ) u (τ ) dτ .                     (3)
                                                                                          u ( ⋅)∈Π[t0 ,T ]
                                          t0                                                                                         t0


Последовательно преобразуем левую и правую части равенства (3). Имеем
               T                                                                                       T

               ∫    ψ 0 (T ) , X [T ,τ ] B (τ ) U 0 (τ ) dτ = max                                      ∫ ψ (T ) , X [T ,τ ] B (τ ) u (τ ) dτ
                                                                                                                  0
                                                                                                                                                                  ⇒
                                                                                    u ( ⋅)∈Π[t0 ,T ]
               t0                                                                                      t0

          T                                                                                            T

          ∫    ψ 0 (T ) , X −1 [τ , T ] B (τ ) U 0 (τ ) dτ = max                                       ∫ ψ (T ) , X [τ , T ] B (τ ) u (τ ) dτ
                                                                                                                  0                  −1
                                                                                                                                                                     ⇒
                                                                                    u ( ⋅)∈Π[t0 ,T ]
          t0                                                                                           t0

     T                                                                                                      T

     ∫ { X [τ , T ]}                                                                                           { X [τ , T ]}
                                  Tр
                                          ψ (T ) , B (τ ) U (τ ) dτ = max
                                                                                                                                          Tр
                                                                                                                                               ψ 0 (T ) , B (τ ) u (τ ) dτ .
                                                                                                            ]∫
                    −1                          0                    0                                                     −1
                                                                                       u ( ⋅)∈Π[t0 ,T
     t0                                                                                                     t0


          Отсюда в силу (1.5.2) выводим
                                     T                                                                       T

                                     ∫ ψ (τ ) , B (τ )U (τ ) dτ =                                           ]∫
                                                                                                               ψ (τ ) , B (τ ) u (τ ) dτ
                                                    0                 0                                                0
                                                                                           max
                                                                                        u ( ⋅)∈Π[t0 ,T
                                     t0                                                                      t0


          В книге [18 ] показано, что
                                                        T                                              T
                                          max           ∫    ψ 0 (τ ) , B (τ ) u (τ ) dτ = ∫ max ψ 0 (τ ) , B (τ ) u dτ .
                                     u ( ⋅)∈Π[t0 ,T ]                                                        u∈P
                                                        t0                                             t0


Тогда
                                           T

                                           ∫ ⎡⎣ ψ (τ ) , B (τ )U (τ )                − max ψ 0 (τ ) , B (τ ) u ⎤dτ = 0 ,
                                                        0                       0

                                           t0
                                                                                       u∈P                     ⎦


                                                                                         50

Страницы