Линейные задачи оптимизации. Ч.2. Оптимальное управление линейными динамическими объектами. Лутманов С.В. - 53 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГНИУ | Пермь

Составители: 

Рубрика: 

2. ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ЛИНЕЙНЫМИ ДИНАМИЧЕСКИМИ ОБЪЕКТАМИ С ФИКСИРОВАН-
НЫМ ВРЕМЕНЕМ И ТЕРМИНАЛЬНЫМ КРИТЕРИЕМ КАЧЕСТВА
53
По теореме Вейерштрасса максимум в условии (7) существует для любой пары
()
[
]
0
,,
n
ttTR
ψ
∈×
. Следовательно, можно определить вектор-функцию
[
]
0
ˆ
:,
n
UtT R P×→, (8)
которая каждой паре
()
[
]
0
,,
n
ttTR
ψ
∈× ставит в соответствие вектор
(
)
ˆ
,Ut P
ψ
∈
,
доставляющий максимум в условии (7).
Пусть функция
ˆ
U
уже построена. Рассмотрим систему из 2n обыкновен-
ных дифференциальных уравнений
() () ( ) ()
ˆ
,,
.
Tр
x
At x BtU t Ct
A
ψ
ψψ
⎧
=+ +
⎪
⎨
=−
⎪
⎩
(10)
относительно
2n неизвестных ,
x
ψ
с 2n граничными условиями
() () ()
()
0
00
,
x
tx T xT
x
ψ
Φ
==−
∂
. (11)
Заметим, что в общем случае эта система нелинейная. Более того, функция
ˆ
U
может оказаться разрывной по переменной
ψ
, и тогда для системы дифферен-
циальных уравнений (10) не будут выполняться условия существования реше-
ния. В случае, когда все же для задачи (10), (11) получено решение
(
)
(
)
00
,x
ψ
⋅
⋅ ,
программная стратегия
()
(
)
(
)
00
ˆ
,UU
ψ
⋅= ⋅ ⋅
будет удовлетворять условиям теоре-
мы 1, т.е. являться стратегией подозрительной на оптимальную стратегию.
2.2. Поведение функции Л.С. Понтрягина вдоль оптимальной пары
В предыдущем пункте (теорема 1) было доказано, что функция Понтряги-
на на оптимальном управлении принимает максимальное значение. Установим
ниже некоторые общие свойства функции максимума (минимума).
Пусть
mn
RYRXRYXF ⊂⊂→× ,,:
1
– некоторая функция, непрерывная по
совокупности своих переменных в каждой точке области определения. При
этом множество
Y
компактное, а множество
X
– открытое. Положим
(
)
(
)
XxyxFxF
Yy
∈=
∈
,,max
0
, (1)
()
(
)
(
)
(
)
(
)
{
}
XxxFxyxFxyxY ∈== ,,
0000
. 
 2. ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ЛИНЕЙНЫМИ ДИНАМИЧЕСКИМИ ОБЪЕКТАМИ С ФИКСИРОВАН-
               НЫМ ВРЕМЕНЕМ И ТЕРМИНАЛЬНЫМ КРИТЕРИЕМ КАЧЕСТВА
По теореме Вейерштрасса максимум в условии (7) существует для любой пары
( t ,ψ ) ∈ [t0 , T ] × R n . Следовательно, можно определить вектор-функцию
                                             Uˆ : [t0 , T ] × R n → P ,                  (8)

которая каждой паре ( t ,ψ ) ∈ [t0 , T ] × R n ставит в соответствие вектор Uˆ ( t ,ψ ) ∈ P ,

доставляющий максимум в условии (7).
      Пусть функция Û уже построена. Рассмотрим систему из 2n обыкновен-
ных дифференциальных уравнений
                               ⎪⎧ x = A ( t ) x + B ( t ) Uˆ ( t ,ψ ) + C ( t ) ,
                                ⎨                                                       (10)
                                ⎪⎩              ψ = − ATрψ .

относительно 2n неизвестных x, ψ с 2n граничными условиями
                                                               ∂Φ 0
                              x ( t0 ) = x0 , ψ (T ) = −
                                                               ∂x
                                                                  ( x (T ) ) .          (11)

Заметим, что в общем случае эта система нелинейная. Более того, функция Û
может оказаться разрывной по переменной ψ , и тогда для системы дифферен-
циальных уравнений (10) не будут выполняться условия существования реше-
ния. В случае, когда все же для задачи (10), (11) получено решение x 0 ( ⋅) ,ψ 0 ( ⋅) ,

программная стратегия U 0 ( ⋅) = Uˆ ( ⋅,ψ 0 ( ⋅) ) будет удовлетворять условиям теоре-

мы 1, т.е. являться стратегией подозрительной на оптимальную стратегию.
     2.2. Поведение функции Л.С. Понтрягина вдоль оптимальной пары
     В предыдущем пункте (теорема 1) было доказано, что функция Понтряги-
на на оптимальном управлении принимает максимальное значение. Установим
ниже некоторые общие свойства функции максимума (минимума).
     Пусть F : X × Y → R 1 , X ⊂ R n , Y ⊂ R m – некоторая функция, непрерывная по
совокупности своих переменных в каждой точке области определения. При
этом множество Y компактное, а множество X – открытое. Положим
                                        F 0 ( x ) = max F ( x, y ) , x ∈ X ,             (1)
                                                     y∈Y


                                    {                                      }
                         Y 0 ( x ) = y 0 ( x ) F (x, y 0 ( x )) = F 0 ( x ) , x ∈ X .




                                                       53

Страницы