Линейные задачи оптимизации. Ч.2. Оптимальное управление линейными динамическими объектами. Лутманов С.В. - 55 стр.

 2. ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ЛИНЕЙНЫМИ ДИНАМИЧЕСКИМИ ОБЪЕКТАМИ С ФИКСИРОВАН-
               НЫМ ВРЕМЕНЕМ И ТЕРМИНАЛЬНЫМ КРИТЕРИЕМ КАЧЕСТВА
Учитывая, что F 0 ( x s ) = F (x s , y s0 ), s = 1,2, , из соотношений (3),(4) выводим

                               ε = F 0 (x∗ ) − F (x∗ , y ∗ ) = F 0 (x∗ ) − F (x∗ , y ∗ ) ≤

                                                                                         ε       ε       2ε
                     ≤ F 0 ( x ∗ ) − F 0 ( x s ) + F (x s , y s0 ) − F ( x ∗ , y ∗ ) <       +       =      <ε .
                                                                                         3       3        3
Получили противоречие, которое и доказывает лемму.

      Дополнительно предположим, что функция F непрерывно дифференци-
руема по переменной x в области X , а множество Y 0 ( x ) состоит ровно из одно-
го элемента y 0 ( x ) при всех x ∈ X . Тогда, как отмечалось выше, функция
y 0 : X → R m будет непрерывной в каждой точке x ∈ X .

     Теорема 2. В принятых предположениях функция F 0 : X → R 1 непрерывно
дифференцируема в каждой точке области определения и при этом имеет ме-
сто равенство
                                      ∂ 0          ∂∗
                                         F ( x ) = ∗ F (x, y 0 ( x )), x ∈ X ,                                     (5)
                                      ∂x          ∂ x
где индекс « ∗ » в обозначении производной по векторному аргументу x в правой
части (5) означает, что эта производная вычисляется без учета зависимости y 0
от x ∈ X .
     Доказательство. По формуле конечных приращений [7] из двойного нера-
венства (2) находим
             ∂∗                                                       ∂∗
              ∗
                 F (x , y 0
                            ( x + ∆x )) , ∆ x + o ∆ x ≤ ∆ F 0
                                                              ( x ) ≤  ∗
                                                                          F (x, y 0 ( x )), ∆x + o ∆x .            (6)
             ∂ x                                                      ∂ x

Из соотношений (6) с учетом непрерывности функции y 0 следует, что
                                                    ∂∗
                                    ∆F 0 ( x ) =     ∗
                                                        F (x, y 0 ( x )), ∆x + o ∆x .
                                                    ∂ x

Последнее условие означает дифференцируемость функции F 0 в точке x ∈ X и
справедливость равенства (5). Из непрерывности правой части равенства (5)
следует непрерывность и его левой части. Теорема доказана.
      Докажем одно важное свойство функции Л.С. Понтрягина.




                                                               55