Линейные задачи оптимизации. Ч.2. Оптимальное управление линейными динамическими объектами. Лутманов С.В. - 57 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГНИУ | Пермь

Составители: 

Рубрика: 

2. ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ЛИНЕЙНЫМИ ДИНАМИЧЕСКИМИ ОБЪЕКТАМИ С ФИКСИРОВАН-
НЫМ ВРЕМЕНЕМ И ТЕРМИНАЛЬНЫМ КРИТЕРИЕМ КАЧЕСТВА
57
Задача математического программирования по определению функции
ˆ
U
состоит в максимизации линейной формы (1,7) при квадратичных ограничени-
ях
(
)
()
2
2
1
1
i
r
i
i
u
a
=
≤
∑
.
Решение этой задачи приводится в примере 1.4.3 книги [22]. Ее решением при ус-
ловии, что
0
ψ
≠ , служит вектор
()
()
()
1
ˆ
,
ˆ
,
ˆ
,
r
Ut
Ut P
Ut
ψ
ψ
ψ
⎛⎞
⎜⎟
=
∈
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
, для которого
()
()
()
2
1
2
2
11
ˆ
,,1,,
n
ikik
k
i
nn
ks k s
sk
abt
Ut i r
bt a
ψ
ψ
ψ
=
==
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠
==
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠
∑
∑∑
. (1)
В частности, если
1 r
aaa=== , то формула (1) принимает вид
()
()
()
1
2
11
ˆ
,,1,,
n
ki k
k
i
nn
ks k
sk
bt
Ut a i r
bt
ψ
ψ
ψ
=
==
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠
==
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠
∑
∑∑
.
Пример 2*. Рассмотрим линейный управляемый динамический объект
[
]
1212 12
,,0,;xxux xu t
π
=+ =−+ ∈

() ()
11
22 2
12 1 2
22
,1,03,02;
uu
uuPu Ruu x x
uu
⎧⎫
⎛⎞ ⎛⎞
=∈==∈+≤ =−=
⎨⎬
⎜⎟ ⎜⎟
⎝⎠ ⎝⎠
⎩⎭
(
)
(
)
(
)
22
12
32 minIU x x
ππ
⋅= + →⎡⎤
⎣⎦
.
Здесь
()
22
12
01 10
,,32
10 01
A B xxx
⎛⎞ ⎛⎞
==Φ=+
⎜⎟ ⎜⎟
−
⎝⎠ ⎝⎠
Сформулируем задачу математического программирования (1.7)
22
11 2 2 1 2
min, 1uu uu
ψ
ψ
→+≤
Функция (1.8) здесь имеет вид 
 2. ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ЛИНЕЙНЫМИ ДИНАМИЧЕСКИМИ ОБЪЕКТАМИ С ФИКСИРОВАН-
               НЫМ ВРЕМЕНЕМ И ТЕРМИНАЛЬНЫМ КРИТЕРИЕМ КАЧЕСТВА
       Задача математического программирования по определению функции Û
состоит в максимизации линейной формы (1,7) при квадратичных ограничени-
ях
                                                              r
                                                                    (u ) i 2

                                                           ∑                      ≤ 1.
                                                                    ( ai )
                                                                              2
                                                             i =1


Решение этой задачи приводится в примере 1.4.3 книги [22]. Ее решением при ус-
                                                ⎛ Uˆ 1 ( t ,ψ ) ⎞
                                                ⎜                ⎟
ловии, что ψ ≠ 0 , служит вектор Uˆ ( t ,ψ ) = ⎜                 ⎟ ∈ P , для которого
                                               ⎜⎜ Uˆ r ( t ,ψ ) ⎟⎟
                                                ⎝                ⎠

                                                    ⎛ n              ⎞
                                                  a ⎜ ∑ bki ( t )ψ k ⎟
                                                      2
                                                      i

                             Uˆ i ( t ,ψ ) =        ⎝ k =1           ⎠                           , i = 1,   ,r .   (1)
                                                                                         2
                                                  n
                                                      ⎛ n              ⎞ 2
                                                 ∑    ⎜ ∑ bks ( t )ψ k ⎟ as
                                                 s =1 ⎝ k =1           ⎠

В частности, если a1 =           = ar = a , то формула (1) принимает вид

                                                       ⎛ n              ⎞
                                                       ⎜ ∑ bki ( t )ψ k ⎟
                             Uˆ i ( t ,ψ ) = a         ⎝ k =1           ⎠                        , i = 1,   ,r .
                                                                                             2
                                                      ⎛n            n
                                                                                         ⎞
                                                   ∑ ⎜⎝ ∑ b ( t )ψ
                                                      s =1        k =1
                                                                         ks          k   ⎟
                                                                                         ⎠

       Пример 2*. Рассмотрим линейный управляемый динамический объект
                                   x1 = x2 + u1 , x2 = − x1 + u2 , t ∈ [ 0, π ] ;

                   ⎛u ⎞            ⎧    ⎛u ⎞                     ⎫
               u = ⎜ 1 ⎟ , u ∈ P = ⎨u = ⎜ 1 ⎟ ∈ R 2 u12 + u22 ≤ 1⎬ , x1 ( 0 ) = −3, x2 ( 0 ) = 2;
                   ⎝ u2 ⎠          ⎩    ⎝ u2 ⎠                   ⎭

                                    I ⎡⎣U ( ⋅) ⎤⎦ = 3x12 (π ) + 2 x22 (π ) → min .

       Здесь
                              ⎛ 0 1⎞        ⎛1 0⎞
                            A=⎜      ⎟, B = ⎜     ⎟ , Φ ( x ) = 3x1 + 2 x2
                                                                  2      2

                              ⎝ −1 0 ⎠      ⎝ 0 1 ⎠

       Сформулируем задачу математического программирования (1.7)
                                      ψ 1u1 +ψ 2u2 → min, u12 + u22 ≤ 1

Функция (1.8) здесь имеет вид




                                                                         57

Страницы