Линейные задачи оптимизации. Ч.2. Оптимальное управление линейными динамическими объектами. Лутманов С.В. - 59 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГНИУ | Пермь

Составители: 

Рубрика: 

2. ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ЛИНЕЙНЫМИ ДИНАМИЧЕСКИМИ ОБЪЕКТАМИ С ФИКСИРОВАН-
НЫМ ВРЕМЕНЕМ И ТЕРМИНАЛЬНЫМ КРИТЕРИЕМ КАЧЕСТВА
59
Подставляя найденные константы в (5) определяем вектр-функцию
(
)
0
ψ
⋅
, а из
(2) - оптимальное программное управление
() ()
()
(
)
() ()
() ()
[]
0
1
12
02 02
22
12
12
00
0
21
2
22
02 02
12
12
cos sin
ˆ
,,0,
cos sin
t
ctct
tt
cc
ut Ut t t
ctct
cc
tt
ψ
ψψ
ψ
π
ψ
ψψ
∗∗
∗∗
∗∗
∗∗
⎛⎞
⎛⎞
+
⎜⎟
⎜⎟
+
+
⎜⎟
⎜⎟
== = ∈
⎜⎟
⎜⎟
−
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
+
+
⎝⎠
⎝⎠
. (9)
Аналогично из (8) находим оптимальную траекторию
()
()
()
[]
12
34
22 22
0
12 12
1
0
0
0
2
21
43
22 22
12 12
cos sin
cos sin
,,
cos sin
cos sin
tc t tc t
ct ct
cc cc
xt
x
tttT
xt
tc t tc t
ct ct
cc cc
∗∗
∗∗
∗∗ ∗∗
∗∗
∗∗
∗∗ ∗∗
⎛⎞
++ +
⎜⎟
++
⎛⎞
⎜⎟
== ∈
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
⎜⎟
+− −
⎜⎟
++
⎝⎠
. (10)
Ниже на рис. 2 приводятся графики изменения каждой из компонент вектора
()
0
t
ψ
от времени
Рис. 2
Из графиков видно, что вектор
(
)
0
t
ψ
не является нулевым вектором на
всем промежутке времени
[
]
0
,tT, и программное управление, удовлетворяющее
условиям принципа максимума, единственное. В силу выпуклости функции
Φ
0.5 1 1.5 2 2.5 3
t
-2
-1
1
2
ψ
1 ,
ψ
2 
 2. ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ЛИНЕЙНЫМИ ДИНАМИЧЕСКИМИ ОБЪЕКТАМИ С ФИКСИРОВАН-
               НЫМ ВРЕМЕНЕМ И ТЕРМИНАЛЬНЫМ КРИТЕРИЕМ КАЧЕСТВА
Подставляя найденные константы в (5) определяем вектр-функцию ψ 0 ( ⋅) , а из

(2) - оптимальное программное управление
                                                ⎛        ψ 10 ( t )          ⎞ ⎛ c1∗ cos t + c2∗ sin t ⎞
                                                ⎜                            ⎟ ⎜                        ⎟
                                                ⎜  ψ  02
                                                         ( t ) + ψ  02
                                                                       ( t ) ⎟  ⎜      c1∗2 + c2∗2 ⎟
                  u ( t ) = Uˆ ( t ,ψ ( t ) ) = ⎜                                                       ⎟ , t ∈ [ 0, π ] .
                                                     1              2
                   0                 0
                                                                             ⎟=⎜ ∗              ∗
                                                                                                                               (9)
                                                ⎜           ψ  0
                                                               2              ⎟ ⎜ 2c cos t  − c1  sin t ⎟
                                                ⎜⎜ ψ 102 ( t ) + ψ 202 ( t ) ⎟⎟ ⎝⎜       ∗2
                                                                                       c1 + c2   ∗2     ⎟
                                                                                                        ⎠
                                                ⎝                            ⎠

Аналогично из (8) находим оптимальную траекторию
                                                ⎛   tc1∗ cos t         ∗         tc2∗ sin t            ⎞
                                                ⎜                 + c cos t +
                                                                       3                   + c4∗ sin t ⎟
                                  ⎛ x 0
                                        ( t ) ⎞ ⎜
                                                      ∗2
                                                     c +c    ∗2                   ∗2
                                                                               c +c       ∗2
                                                                                                       ⎟
                     x 0 ( t ) = ⎜⎜ 10 ⎟⎟ = ⎜                                                          ⎟ , t ∈ [ t0 , T ] .
                                                      1      2                    1       2
                                                                                                                              (10)
                                  ⎝ x2 ( t ) ⎠ ⎜
                                                       ∗                         ∗
                                                    tc2 cos t                 tc1 sin t
                                                                    ∗
                                                                 + c4 cos t −              − c3 sin t ⎟
                                                                                              ∗
                                                ⎜    c1∗2 + c2∗2               c1∗2 + c2∗2             ⎟
                                                ⎝                                                      ⎠

Ниже на рис. 2 приводятся графики изменения каждой из компонент вектора
ψ 0 ( t ) от времени


          ψ1,ψ2

          2




          1




                                                                                                                     t
                            0.5               1              1.5             2                2.5         3



          -1




          -2




                                                             Рис. 2
      Из графиков видно, что вектор ψ 0 ( t ) не является нулевым вектором на

всем промежутке времени [t0 , T ] , и программное управление, удовлетворяющее

условиям принципа максимума, единственное. В силу выпуклости функции Φ


                                                                  59

Страницы