Линейные задачи оптимизации. Ч.2. Оптимальное управление линейными динамическими объектами. Лутманов С.В. - 61 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГНИУ | Пермь

Составители: 

Рубрика: 

2. ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ЛИНЕЙНЫМИ ДИНАМИЧЕСКИМИ ОБЪЕКТАМИ С ФИКСИРОВАН-
НЫМ ВРЕМЕНЕМ И ТЕРМИНАЛЬНЫМ КРИТЕРИЕМ КАЧЕСТВА
61
Заметим, что в соответствии с теоремой 3 функция Понтрягина
() () ()
()
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)()()
(
)
00 0 00 0 0 0 0
12 1 2 1 2
,,,Htxtut t txt ut t xt ut
ψψ ψ
=++−+,
должна оставаться постоянной на всем промежутке времени
[
]
0,
π
. Дейст-
вительно, ниже на рис. 4 приводится график функции
(
)
(
)
(
)
(
)
00 0
,,,Htx t u t t
ψ
=
() ()
()
()
()
()
()
() ()
()
()
()
()
()
00
12
00 0 0
12 2 1
22 22
00 00
12 12
tt
txt t xt
tt tt
ψψ
ψψ
ψψ ψψ
⎡⎤⎡ ⎤
⎢⎥⎢ ⎥
=+ +−+
⎢⎥⎢ ⎥
++
⎢⎥⎢ ⎥
⎣⎦⎣ ⎦
Рис. 4
который подтверждает факт постоянства функции Л.С. Понтрягина.
Случай 2. Геометрические ограничения на вектор управляющих парамет-
ров имеют вид
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=≤≤∈
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
== riuR
u
u
uP
iii
r
r
,,1,
1
βα
.
Решением задачи (1.7) будет служить вектор
()
()
()
1
ˆ
,
ˆ
,
ˆ
,
r
Ut
Ut P
Ut
ψ
ψ
ψ
⎛⎞
⎜⎟
=
∈
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
, для которого
0.2 0.4 0.6 0.8 1
0.5
1
1.5
2
2.5
3 
 2. ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ЛИНЕЙНЫМИ ДИНАМИЧЕСКИМИ ОБЪЕКТАМИ С ФИКСИРОВАН-
               НЫМ ВРЕМЕНЕМ И ТЕРМИНАЛЬНЫМ КРИТЕРИЕМ КАЧЕСТВА
      Заметим, что в соответствии с теоремой 3 функция Понтрягина
             H ( t , x 0 ( t ) , u 0 ( t ) ,ψ 0 ( t ) ) = ψ 10 ( t ) ( x20 ( t ) + u10 ( t ) ) +ψ 20 ( t ) ( − x10 ( t ) + u20 ( t ) ) ,

должна оставаться постоянной на всем промежутке времени [ 0, π ] . Дейст-

вительно, ниже на рис. 4 приводится график функции
                                                      H ( t , x 0 ( t ) , u 0 ( t ) ,ψ 0 ( t ) ) =

                  ⎡                                                       ⎤            ⎡                                                       ⎤
                  ⎢                            ψ 10 ( t )                 ⎥            ⎢ 0                          ψ 20 ( t )                 ⎥
        = ψ ( t ) ⎢ x20 ( t ) +
            0
            1                                                             ⎥ +ψ 2 ( t ) ⎢ − x1 ( t ) +
                                                                               0
                                                                                                                                               ⎥
                                     (ψ ( t ) ) + (ψ ( t ) )                                              (ψ ( t ) ) + (ψ ( t ) )
                                         0        2          0        2                                       0        2          0        2
                  ⎢⎣                     1                   2            ⎥⎦           ⎢⎣                     1                   2            ⎥⎦


                     3


                  2.5


                     2


                  1.5


                     1


                  0.5



                                          0.2                    0.4                 0.6                0.8                   1


                                                                     Рис. 4
который подтверждает факт постоянства функции Л.С. Понтрягина.
     Случай 2. Геометрические ограничения на вектор управляющих парамет-
ров имеют вид
                                         ⎧    ⎛ u1 ⎞                                                       ⎫
                                         ⎪    ⎜ ⎟                                                          ⎪
                                     P = ⎨u = ⎜ ⎟ ∈ R r α i ≤ u i ≤ β i , i = 1,                        , r⎬ .
                                         ⎪    ⎜u ⎟                                                         ⎪
                                         ⎩    ⎝ r⎠                                                         ⎭

                                                         ⎛ Uˆ 1 ( t ,ψ ) ⎞
                                                         ⎜               ⎟
Решением задачи (1.7) будет служить вектор Uˆ ( t ,ψ ) = ⎜               ⎟ ∈ P , для которого
                                                         ⎜⎜ ˆ r          ⎟⎟
                                                          ⎝ U ( t ,ψ ) ⎠




                                                                           61

Страницы