Линейные задачи оптимизации. Ч.2. Оптимальное управление линейными динамическими объектами. Лутманов С.В. - 63 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГНИУ | Пермь

Составители: 

Рубрика: 

2. ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ЛИНЕЙНЫМИ ДИНАМИЧЕСКИМИ ОБЪЕКТАМИ С ФИКСИРОВАН-
НЫМ ВРЕМЕНЕМ И ТЕРМИНАЛЬНЫМ КРИТЕРИЕМ КАЧЕСТВА
63
От противного будем считать, что функция F имеет, по крайней мере,
mkk
m
+++
1
действительных корней. Построим функцию
11
1
: RRF → по фор-
муле
(
)
(
)
1
111
),()()()()(
11
RttfetfetfetFtF
m
t
m
tt
mmmm
∈+++==
−
−
−−
−
λλλλλ
.
Функции
F и
1
F имеют одни и те же действительные корни. Так как между
каждыми двумя действительными корнями функции лежит, по крайней мере,
один корень ее производной, то производная
(
)
1
+
m
k -го порядка функции
1
F име-
ет по крайней мере
()
(
)
111
11
mm m
kkmk kkm
−
++ + − +=++ +−
действительных корней. С другой стороны, эта производная имеет вид
()
()
(
)
(
)
(
)
(
)
1
11
1
1
,
11
RtetgetgtF
t
m
tk
mmmm
∈++=
−
−
−+
−
λλλλ
,
где числа
mmm
λ
λ
λ
λ
−−
−11
,, попарно различны, а степень многочлена
i
g равна
1,,1, −= mik
i
. Согласно предположению индукции функция
()
1
1
+
m
k
F имеет не более
(
)
11
11 2
mm
kkm kkm++ + −−=++ +−
действительных корней, вопреки тому, что было установлено выше. Полученное
противоречие завершает индукцию. Лемма доказана.
Доказательство теоремы 4. Достаточно установить, что для всех
1, ,ir= функция
() ()
0
1
n
ikik
k
Vb
ψ
=
⋅= ⋅
∑
имеет не более чем 1−n действительных
корней. Напомним, что вектор-функция
(
)
0
ψ
⋅
является решением линейного
дифференциального уравнения
T
A
ψ
ψ
=−
.
Каждое собственное число матрицы
T
A
−
представляет собой собст-
венное число матрицы
A , взятое с противоположным знаком, и поэтому явля-
ется действительным числом. Тогда
()
1
01
1
() () , , 1, ,
k
t
t
kk mk
tgte gtetRk n
λ
λ
ψ
=++ ∈=, 
2. ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ЛИНЕЙНЫМИ ДИНАМИЧЕСКИМИ ОБЪЕКТАМИ С ФИКСИРОВАН-
              НЫМ ВРЕМЕНЕМ И ТЕРМИНАЛЬНЫМ КРИТЕРИЕМ КАЧЕСТВА
         От противного будем считать, что функция F имеет, по крайней мере,
k1 +      + k m + m действительных корней. Построим функцию F1 : R 1 → R 1 по фор-

муле
                    F1 (t ) = F (t )e − λm t = f1 (t )e (λ1 − λm )t +      + f m −1 (t )e (λm−1 − λm )t + f m (t ), t ∈ R1 .

Функции F и F1 имеют одни и те же действительные корни. Так как между
каждыми двумя действительными корнями функции лежит, по крайней мере,
один корень ее производной, то производная (k m + 1) -го порядка функции F1 име-
ет по крайней мере
                                   ( k1 +          + km + m ) − ( km + 1) = k1 +          + km −1 + m − 1

действительных корней. С другой стороны, эта производная имеет вид
                               F1(k m +1) (t ) = g1 (t )e (λ1 − λm )t +    + g m −1 (t )e (λm−1 − λm )t , t ∈ R1 ,

 где числа λ1 − λm , , λm −1 − λm попарно различны, а степень многочлена g i равна
k i , i = 1,     , m − 1 . Согласно предположению индукции функция F1(k m +1) имеет не более

                                       k1 +          + km + ( m − 1) − 1 = k1 +         + km + m − 2

действительных корней, вопреки тому, что было установлено выше. Полученное
противоречие завершает индукцию. Лемма доказана.
          Доказательство теоремы 4. Достаточно установить, что для всех
                                               n
i = 1,         , r функция Vi ( ⋅) = ∑ bkiψ k0 ( ⋅) имеет не более чем n − 1 действительных
                                              k =1


корней. Напомним, что вектор-функция ψ 0 ( ⋅) является решением линейного

дифференциального уравнения
                                                                 ψ = − ATψ .

          Каждое собственное число матрицы − AT представляет собой собст-
венное число матрицы A , взятое с противоположным знаком, и поэтому явля-
ется действительным числом. Тогда
                               ψ k0 ( t ) = g1k (t )eλ t +1
                                                                   + g mk (t )eλk t , t ∈ R1 , k = 1,       ,n,




                                                                          63

Страницы