Линейные задачи оптимизации. Ч.2. Оптимальное управление линейными динамическими объектами. Лутманов С.В. - 64 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГНИУ | Пермь

Составители: 

Рубрика: 

2. ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ЛИНЕЙНЫМИ ДИНАМИЧЕСКИМИ ОБЪЕКТАМИ С ФИКСИРОВАН-
НЫМ ВРЕМЕНЕМ И ТЕРМИНАЛЬНЫМ КРИТЕРИЕМ КАЧЕСТВА
64
где
m
λ
λ
,,
1
– все попарно различные собственные значения матрицы
T
A
−
, а
()
jk
g ⋅ – многочлен степени 1
−
j
r , где
j
r – кратность корня ,
j
λ
1, , ,jm
=
1, ,kn= . Таким образом,
()
1
1
1
() () , , 1, ,
m
t
t
ii mi
Vt f te f te t R i r
λ
λ
=++ ∈=.
Здесь
ji
f
– многочлен степени
mjr
j
,,1,1
=
−
. По лемме 3 функция
(
)
⋅
s
V имеет
не более чем
()
(
)
11111
11
−
=
−
+
+
=
−
+
−
++− nrrmrr
mm
действительных корней. Теорема доказана.
Пример 3*. Рассмотрим линейный управляемый динамический объект
112 31
21232
31233
2230 ,
10 35 ,
2,
xx xu
xx xu
xxxxu
=
+− +
=−−+
=−++
() () ()
11
3
22 123
33
,1,1,2,3,03,02,01;
i
uu
uu uPuu Ru i x x x
uu
⎧⎫
⎛⎞ ⎛⎞
⎪⎪
⎜⎟ ⎜⎟
=∈==∈≤= =−==
⎨⎬
⎜⎟ ⎜⎟
⎪⎪
⎜⎟ ⎜⎟
⎝⎠ ⎝⎠
⎩⎭
()
(
)
(
)
(
)
123
121 1 minIU x x x⋅= + − →⎡⎤
⎣⎦
.
Здесь
( ) () () ()
123
22 30 100
10 1 35 , 0 1 0 , 1 2 1 1
211 001
ABxxxx
−
⎛⎞⎛⎞
⎜⎟⎜⎟
=−− = Φ=+ −
⎜⎟⎜⎟
⎜⎟⎜⎟
−
⎝⎠⎝⎠
.
Сформулируем задачу математического программирования (1.7)
11 2 2 3 3
min, 1, 1, 2,3
i
uuu ui
ψ
ψψ
++→ ≤=
и решим ее. Функция (1.8) здесь имеет вид
()
()
()
()
()
[
]
[]
1
2
3
,0
ˆ
,
ˆˆˆ
,,,, 0,
[0,1],
ˆ
,
,0.
ii
ii
ii
sign
Ut
любое число
Ut U t U t
из
Ut
sign
ψψ
ψ
ψψψ ψ
ψ
ψψ
⎧
<
⎛⎞
⎪
⎜⎟
⎪
===
⎜⎟
⎨
⎜⎟
⎪
⎜⎟
⎪
⎝⎠
−
>
⎩
Система дифференциальных уравнений (1.10) и граничные условия (1.11) запи-
сываются так: 
2. ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ЛИНЕЙНЫМИ ДИНАМИЧЕСКИМИ ОБЪЕКТАМИ С ФИКСИРОВАН-
              НЫМ ВРЕМЕНЕМ И ТЕРМИНАЛЬНЫМ КРИТЕРИЕМ КАЧЕСТВА
где λ1 , , λm – все попарно различные собственные значения матрицы − AT , а
g jk ( ⋅)     – многочлен степени r j − 1 , где r j – кратность корня λ j , j = 1, , m,

k = 1,        , n . Таким образом,

                                Vi ( t ) = f1i (t )eλ1t +    + f mi (t )eλmt , t ∈ R1 , i = 1,   ,r .

Здесь f ji – многочлен степени r j − 1, j = 1, , m . По лемме 3 функция V s (⋅) имеет

не более чем
                                (r1 − 1) +     + (rm − 1) + m − 1 = r1 +          + rm − 1 = n − 1

действительных корней. Теорема доказана.
            Пример 3*. Рассмотрим линейный управляемый динамический объект
                                                  x1 = 2 x1 + 2 x2 − 30 x3 + u1 ,
                                                  x2 = 10 x1 − x2 − 35 x3 + u2 ,
                                                  x3 = 2 x1 − x2 + x3 + u3 ,

                ⎛ u1 ⎞           ⎧    ⎛ u1 ⎞                       ⎫
                ⎜ ⎟              ⎪    ⎜ ⎟                          ⎪
            u = ⎜ u2 ⎟ , u ∈ P = ⎨u = ⎜ u2 ⎟ ∈ R ui ≤ 1, i = 1, 2,3⎬ , x1 ( 0 ) = −3, x2 ( 0 ) = 2, x3 ( 0 ) = 1;
                                                3

                ⎜u ⎟             ⎪    ⎜u ⎟                         ⎪
                ⎝ 3⎠             ⎩    ⎝ 3⎠                         ⎭

                                        I ⎡⎣U ( ⋅) ⎤⎦ = x1 (1) + 2 x2 (1) − x3 (1) → min .

            Здесь
                         ⎛ 2 2 −30 ⎞         ⎛1 0 0⎞
                         ⎜           ⎟       ⎜       ⎟
                     A = ⎜ 10 −1 −35 ⎟ , B = ⎜ 0 1 0 ⎟ , Φ ( x ) = x1 (1) + 2 x2 (1) − x3 (1) .
                         ⎜ 2 −1 1 ⎟          ⎜0 0 1⎟
                         ⎝           ⎠       ⎝       ⎠

            Сформулируем задачу математического программирования (1.7)
                                     ψ 1u1 +ψ 2u2 + ψ 3u3 → min,            ui ≤ 1, i = 1, 2,3

и решим ее. Функция (1.8) здесь имеет вид

                                           ⎛ Uˆ1 ( t ,ψ ) ⎞                    ⎧ sign [ψ i ] ,   ψi < 0
                                           ⎜               ⎟                   ⎪
                                                                               ⎪ любое число
                             Uˆ ( t ,ψ ) = ⎜ Uˆ 2 ( t ,ψ ) ⎟ , Uˆ i ( t ,ψ ) = ⎨                 ψ i = 0,
                                           ⎜ ˆ             ⎟                   ⎪из [0,1],
                                           ⎜ U 3 ( t ,ψ ) ⎟
                                                                               ⎩ − sign [ψ i ] , ψ i > 0.
                                           ⎝               ⎠                   ⎪

Система дифференциальных уравнений (1.10) и граничные условия (1.11) запи-
сываются так:



                                                                 64

Страницы