Линейные задачи оптимизации. Ч.2. Оптимальное управление линейными динамическими объектами. Лутманов С.В. - 66 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГНИУ | Пермь

Составители: 

Рубрика: 

2. ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ЛИНЕЙНЫМИ ДИНАМИЧЕСКИМИ ОБЪЕКТАМИ С ФИКСИРОВАН-
НЫМ ВРЕМЕНЕМ И ТЕРМИНАЛЬНЫМ КРИТЕРИЕМ КАЧЕСТВА
66
()
)
[]
(
0
1
ˆ
1, 0, ,
ˆ
,
1, 1 ,
ˆ
1, , 1 .
tt
произвольное число
ut tt
из
tt
⎧
⎡
∈
⎣
⎪
⎪
==
⎨
−
⎪
⎪
⎤
−∈
⎦
⎩
,
(
)()
00
23
1, 1,ut ut
=
−=
[
]
0,1t ∈
Подставим оптимальное управление в основную систему дифференци-
альных уравнений и проинтегрируем ее с соответствующими начальными ус-
ловиями. В результате получим оптимальное движение
()
[
]
0
,0,1xtt∈ .
Вычислим значение функционала на оптимальном программном управле-
нии
()
(
)
(
)
(
)
00 00
123
1 2 1 1 366.188Iu x x x
⎡⎤
⋅= + − =−
⎣⎦
Для сравнения вычислим значение функционала на допустимом про-
граммном управлении
()
[]
1
1, 0,1
1
ut t
⎛⎞
⎜⎟
=− ∈
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
. Пусть
(
)()
(
)
00
,, ,xxtxu
⋅
=⋅ ⋅

. Тогда
()
(
)
(
)
(
)
123
1 2 1 1 365.348Iu x x x⋅= + − =−
⎡⎤
⎣⎦

.
Таким образом,
()
(
)
0
365.348 366.188Iu Iu
⎡
⎤
⋅=−>−=⋅⎡⎤
⎣⎦
⎣
⎦
.
Наконец, в соответствии с теоремой 3 проверим постоянство функции Пон-
трягина, вычисленной вдоль оптимальной пары
(
)()
(
)
00
,
x
tt
ψ
на промежутке
времени
[
]
0,1 . Действительно, ниже на рис. 6 приводится график функции
() ()
(
)
()
(
)
(
)
(
)()()
(
)
00 0 0 0 0 0 0
11 2 31
,,, 2 2 30Htxtut t t xt xt xt ut
ψψ
=
+− ++
()
(
)()
(
)
(
)
()
(
)
(
)
(
)()()
(
)
0 00 00 0 0000
212 3231231
10 35 2t xt xt xt ut t xt xt xt ut
ψψ
+−−++−++, 
 2. ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ЛИНЕЙНЫМИ ДИНАМИЧЕСКИМИ ОБЪЕКТАМИ С ФИКСИРОВАН-
               НЫМ ВРЕМЕНЕМ И ТЕРМИНАЛЬНЫМ КРИТЕРИЕМ КАЧЕСТВА
                        ⎧              1,   t ∈ ⎡⎣0, tˆ ) ,
                        ⎪
                        ⎪произвольное число
            u10 ( t ) = ⎨                      t = tˆ, ,                                   u20 ( t ) = −1, u30 ( t ) = 1, t ∈ [ 0,1]
                        ⎪из [ − 1, 1] ,
                        ⎪             −1,    t ∈ ( tˆ, 1⎤⎦ .
                        ⎩

        Подставим оптимальное управление в основную систему дифференци-
альных уравнений и проинтегрируем ее с соответствующими начальными ус-
ловиями. В результате получим оптимальное движение x 0 ( t ) , t ∈ [ 0,1] .

        Вычислим значение функционала на оптимальном программном управле-
нии
                                        I ⎡⎣u 0 ( ⋅) ⎤⎦ = x10 (1) + 2 x20 (1) − x30 (1) = −366.188

        Для сравнения вычислим значение функционала на допустимом про-
                               ⎛1⎞
граммном управлении u ( t ) = ⎜⎜ −1⎟⎟ , t ∈ [ 0, 1] . Пусть x ( ⋅) = x ( ⋅, t0 , x0 , u ( ⋅) ) . Тогда
                               ⎜1⎟
                               ⎝ ⎠

                                        I ⎡⎣u ( ⋅) ⎤⎦ = x1 (1) + 2 x2 (1) − x3 (1) = −365.348 .

        Таким образом,
                                         I ⎡⎣u ( ⋅) ⎤⎦ = −365.348 > −366.188 = I ⎡⎣u 0 ( ⋅) ⎤⎦ .

Наконец, в соответствии с теоремой 3 проверим постоянство функции Пон-
трягина, вычисленной вдоль оптимальной пары ( x 0 ( t ) ,ψ 0 ( t ) ) на промежутке

времени [ 0,1] . Действительно, ниже на рис. 6 приводится график функции

                         H ( t , x 0 ( t ) , u 0 ( t ) ,ψ 0 ( t ) ) = ψ 10 ( t ) ( 2 x10 ( t ) + 2 x20 ( t ) − 30 x30 ( t ) + u10 ( t ) ) +
          +ψ 20 ( t ) (10 x10 ( t ) − x20 ( t ) − 35 x30 ( t ) + u20 ( t ) ) + ψ 30 ( t ) ( 2 x10 ( t ) − x20 ( t ) + x30 ( t ) + u10 ( t ) ) ,




                                                                          66

Страницы