Линейные задачи оптимизации. Ч.2. Оптимальное управление линейными динамическими объектами. Лутманов С.В. - 67 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГНИУ | Пермь

Составители: 

Рубрика: 

2. ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ЛИНЕЙНЫМИ ДИНАМИЧЕСКИМИ ОБЪЕКТАМИ С ФИКСИРОВАН-
НЫМ ВРЕМЕНЕМ И ТЕРМИНАЛЬНЫМ КРИТЕРИЕМ КАЧЕСТВА
67
0.2 0.4 0.6 0.8 1
862.25
862.5
862.75
863
863.25
863.5
863.75
864
Рис. 6
который подтверждает факт постоянства функции Л.С. Понтрягина.
2.4. Минимизация расстояния до целевого множества. Рассмотрим ча-
стный случай задачи 1, исследованной в предыдущем пункте. Именно, будем
предполагать, что функция
Φ , определяющая критерий качества, имеет смысл
евклидового расстояния от проекции фазового вектора на часть своих (
k пер-
вых,
kn≤ ) координат до некоторого выпуклого компактного множества
k
M
R⊂ .
Таким образом,
() {}
()
{}
(
)
{} {}
, min , min , , ,
k
kk kk
mM mM
x
xM xm mxmx knMR
ρρ
∈∈
Φ= = = − − ≤ ⊂.
Здесь символ
{
}
k
⋅ означает проекцию вектора из пространства
n
R
на свои
первые kn≤ координат.
В дальнейшем множество
k
M
R⊂ будем называть целевым.
Проекцию области достижимости
(
)
00
,,
n
Gt x T R⊂ на подпространство
k
R
обозначим символом
()
{
}
00
,,
k
Gt x T . Предположим, что выполняется условие
()
{
}
00
,,
k
Gt x T M=∅∩ . Полагаем
()
{
}
{
}
0
00
min 0 ,
k
Gt x M
ε
εε
=> ≠∅∩ ,
где символом
M
обозначена замкнутая
ε
−
окрестность целевого множества.
Из компактности множества
(
)
{
}
00
,,
k
Gt x T следует существование минимума в
правой части последнего равенства и справедливость соотношения
(
)
00
0IU
ε
⎡⎤
=
⋅>
⎣⎦
. 
 2. ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ЛИНЕЙНЫМИ ДИНАМИЧЕСКИМИ ОБЪЕКТАМИ С ФИКСИРОВАН-
               НЫМ ВРЕМЕНЕМ И ТЕРМИНАЛЬНЫМ КРИТЕРИЕМ КАЧЕСТВА
                         864

                      863.75

                       863.5

                      863.25

                         863

                      862.75

                       862.5

                      862.25


                                       0.2                   0.4            0.6         0.8           1


                                                              Рис. 6
который подтверждает факт постоянства функции Л.С. Понтрягина.
          2.4. Минимизация расстояния до целевого множества. Рассмотрим ча-
стный случай задачи 1, исследованной в предыдущем пункте. Именно, будем
предполагать, что функция Φ , определяющая критерий качества, имеет смысл
евклидового расстояния от проекции фазового вектора на часть своих ( k пер-
вых, k ≤ n ) координат до некоторого выпуклого компактного множества M ⊂ R k .
Таким образом,

          Φ ( x ) = ρ ({ x}k , M ) = min ρ ({ x}k , m ) = min              m − { x}k , m − { x}k , k ≤ n, M ⊂ R k .
                                    m∈M                            m∈M


          Здесь символ {}
                        ⋅ k означает проекцию вектора из пространства R n на свои

первые k ≤ n координат.
          В дальнейшем множество M ⊂ R k будем называть целевым.
          Проекцию области достижимости G ( t0 , x0 , T ) ⊂ R n на подпространство R k

обозначим символом                {G ( t , x , T )} .
                                          0   0          k
                                                              Предположим, что выполняется условие

{G ( t , x , T )}
      0   0     k
                    ∩ M = ∅ . Полагаем

                                                  {
                                  ε 0 = min ε > 0 {G ( t0 , x0 )}k ∩ M ε ≠ ∅ ,          }
где символом M ε обозначена замкнутая ε − окрестность целевого множества.
Из компактности множества {G ( t0 , x0 , T )}k следует существование минимума в

правой части последнего равенства и справедливость соотношения
                                                      ε 0 = I ⎣⎡U 0 ( ⋅) ⎦⎤ > 0 .

                                                                   67

Страницы