Линейные задачи оптимизации. Ч.2. Оптимальное управление линейными динамическими объектами. Лутманов С.В. - 65 стр.

 2. ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ЛИНЕЙНЫМИ ДИНАМИЧЕСКИМИ ОБЪЕКТАМИ С ФИКСИРОВАН-
               НЫМ ВРЕМЕНЕМ И ТЕРМИНАЛЬНЫМ КРИТЕРИЕМ КАЧЕСТВА
                                           x1 = 2 x1 + 2 x2 − 30 x3 + Uˆ1 ( t ,ψ ) ,
                                           x2 = 10 x1 − x2 − 35 x3 + Uˆ 2 ( t ,ψ ) ,
                                           x3 = 2 x1 − x2 + x3 + Uˆ 3 ( t ,ψ ) ,

                                               ψ 1 = −2ψ 1 − 10ψ 2 − 2ψ 3 ,
                                               ψ 2 = −2ψ 1 +ψ 2 +ψ 3 ,
                                               ψ 3 = 30ψ 1 + 35ψ 2 −ψ 3 ,

                    x1 ( 0 ) = −3, x2 ( 0 ) = 2, x3 ( 0 ) = 1, ψ 1 (1) = −1, ψ 2 (1) = −2, ψ 3 (1) = 1 .

          В данном примере сопряженная система дифференциальных уравнений
интегрируется независимо от основной системы. В результате с учетом гра-
ничных условий получим вектор-функцию ψ 0 ( t ) , t ∈ [ 0,1]

          Ниже на рис. 5 приводятся графики зависимости компонент этой век-
тор-функции от времени

     ψ1                                        ψ2
   80                                                                                  t      ψ3
                                                      0.2    0.4    0.6    0.8     1       700
                                             -20
   60                                                                                      600
                                             -40                                           500
   40                                        -60                                           400
                                             -80                                           300
   20                                                                                      200
                                            -100
                                                                                           100
                                          t -120                                                                               t
           0.2    0.4   0.6   0.8     1                                                            0.2   0.4   0.6   0.8   1


                                                            Рис. 5
          Из приведенных графиков видно, что вектор ψ 0 ( t ) , t ∈ [ 0,1] не является

тождественным нулем. Тогда функция (8) определяется однозначно и пред-
ставляет          собой        оптимальное                  программное                управление.             Компоненты
ψ 20 ( t ) ,ψ 30 ( t ) , t ∈ [ 0,1] вектора ψ 0 ( t ) знакопостоянны, поэтому для построения

оптимальной программной стратегии достаточно определить момент време-
ни tˆ ∈ [ 0,1] , в который происходит переключение первой компоненты вектора

ψ 0 ( t ) . В результате решения уравнения ψ 10 ( t ) = 0 приходим к равенству

tˆ = 0.741061 .

          Таким образом, оптимальное программное управление имеет вид




                                                              65