ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
2. ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ЛИНЕЙНЫМИ ДИНАМИЧЕСКИМИ ОБЪЕКТАМИ С ФИКСИРОВАН-
НЫМ ВРЕМЕНЕМ И ТЕРМИНАЛЬНЫМ КРИТЕРИЕМ КАЧЕСТВА
68
Вычислим величину
0
ε
. По теореме 1.30 [22] условие
()
{
}
00
,,
k
Gt x T M
ε
≠
∅∩ бу-
дет иметь место тогда и только тогда, когда
()
{}
()
{}
00
,,
min , ( , ), 0, 1 1
k
k
qGtxT
lq M l l S s R s
ε
χ
∈
≤∀∈= ∈ =
.
Здесь
()
,M
ε
χ
⋅
- опорная функция множества
M
ε
. Тогда
()
{}
()
00
0
,,
min 0 min , ( , ) 0, 1
k
qGtxT
lq M l l S
ε
εε χ
∈
⎧⎫
=> ≤ ∀∈
⎨⎬
⎩⎭
. (1)
В силу равенства
( , ) max , max ,
mM
mM
M
lml ml
α
ε
χε
∈
∈
==+
из (1) выводим, что
()
()
{}
00
0
,,0,1
max max , min ,
k
qGtxTlS mM
ml q l
ε
∈∈∈
⎡
⎤
=− +
⎢
⎥
⎣
⎦
. (2)
Пусть максимум в (2) достигается на векторе
(
)
0
0,1lS∈ . Покажем, что вектор
()
0
0,1lS∈ определяется однозначно. Действительно, от противного приходим к
существованию векторов
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
12 1 2
,0,1,ll S l l∈≠, для которых
()
()
{}
()
()
()
{}
()
00
00
11
0
,,
22
0
,,
max , min , ,
max , min , .
k
k
qGtxTmM
qGtxTmM
ml q l
ml q l
ε
ε
∈∈
∈∈
=− +
=− +
Сложим эти равенства почленно
()
()
{}
() ()
()
{}
()
00 00
112 2
0
,, ,,
2max, min, max, min,
k k
qGtxT qGtxTmM mM
ml q l ml q l
ε
∈∈∈∈
=− + − + ≤
() ( )
()
{}
() ( )
00
12 12
,,
max , min ,
k
qGtxT
mM
ml l q l l
∈
∈
≤− + + +
. (3)
Из неравенства (3) следует, что
(
)
(
)
12
ll
≠
−
, а из условия
(
)
(
)
12
ll≠
следует, что
() ( )
12
2ll+<. Полагаем
(
)
(
)
() ( )
()
12
12
0,1
ll
lS
ll
∗
+
=∈
+
.
Тогда из (3) выводим
() ( )
() ( )
() ( )
()
{}
() ( )
() ( )
00
12 12
0
0
12 12 12
,,
2
max , min ,
k
qGtxTmM
ll ll
mq
ll ll ll
ε
ε
∈∈
++
<≤− + =
++ +
2. ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ЛИНЕЙНЫМИ ДИНАМИЧЕСКИМИ ОБЪЕКТАМИ С ФИКСИРОВАН-
НЫМ ВРЕМЕНЕМ И ТЕРМИНАЛЬНЫМ КРИТЕРИЕМ КАЧЕСТВА
Вычислим величину ε 0 . По теореме 1.30 [22] условие {G ( t0 , x0 , T )}k ∩ M ε ≠ ∅ бу-
дет иметь место тогда и только тогда, когда
min l , q ≤ χ( M ε , l ), ∀ l ∈ S (0, 1) = {s ∈ R k s = 1} .
q∈{G(t0 , x0 ,T )}k
Здесь χ ( M ε , ⋅) - опорная функция множества M ε . Тогда
⎧ ⎫
ε 0 = min ⎨ε > 0 min l , q ≤ χ ( M ε , l ) ∀l ∈ S ( 0, 1) ⎬ . (1)
q∈{G ( t0 , x0 ,T )}k
⎩ ⎭
В силу равенства
χ( M ε , l ) = maxα m, l = ε + max m, l
m∈M m∈M
из (1) выводим, что
⎡ ⎤
ε 0 = max ⎢ − max m, l + min q, l ⎥ . (2)
q∈{G ( t , x ,T )}
l∈S ( 0,1)
⎣ m∈M ⎦ 0 0 k
Пусть максимум в (2) достигается на векторе l 0 ∈ S ( 0,1) . Покажем, что вектор
l 0 ∈ S ( 0,1) определяется однозначно. Действительно, от противного приходим к
существованию векторов l (1) , l ( 2) ∈ S ( 0,1) , l (1) ≠ l ( 2) , для которых
ε 0 = − max m, l (1) + min q, l ( ) ,
1
m∈M q∈{G ( t0 , x0 ,T )}k
ε 0 = − max m, l ( 2) + min q, l (
2)
.
m∈M q∈{G ( t0 , x0 ,T )}k
Сложим эти равенства почленно
2ε 0 = − max m, l ( ) + q, l ( ) − max m, l (
2)
q, l (
1 1 2)
min + min ≤
m∈M q∈{G ( t0 , x0 ,T )}k m∈M q∈{G ( t0 , x0 ,T )}k
≤ − max m, l ( ) + l (
2)
q, l ( ) + l (
2)
1
+ min
1
. (3)
m∈M q∈{G ( t0 , x0 ,T )}
k
Из неравенства (3) следует, что l (1) ≠ −l ( 2) , а из условия l (1) ≠ l ( 2) следует, что
l( ) + l(
2)
< 2 . Полагаем
1
l( ) + l(
1 2)
l∗ = ∈ S ( 0,1) .
l( ) + l(
1 2)
Тогда из (3) выводим
l( ) + l(
2)
l( ) + l(
2)
2ε 0
1 1
ε0 < ≤ − max m, + min q, =
l( ) + l(
2)
l( ) + l(
2)
l( ) + l(
1 m∈M 1 q∈{G ( t0 , x0 ,T )}k 1 2)
68
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 66
- 67
- 68
- 69
- 70
- …
- следующая ›
- последняя »
