Линейные задачи оптимизации. Ч.2. Оптимальное управление линейными динамическими объектами. Лутманов С.В. - 70 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГНИУ | Пермь

Составители: 

Рубрика: 

2. ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ЛИНЕЙНЫМИ ДИНАМИЧЕСКИМИ ОБЪЕКТАМИ С ФИКСИРОВАН-
НЫМ ВРЕМЕНЕМ И ТЕРМИНАЛЬНЫМ КРИТЕРИЕМ КАЧЕСТВА
70
при почти всех
[
]
0
,ttT∈ , где
0
0
0
0
n
l
lR
∗
⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟
=∈
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
.
Доказательство. Допустим, что условие (5) нарушается. Тогда сущест-
вует множество
[
]
0
,TtT∈
ненулевой меры, на котором выполняется неравен-
ство
(
)()
[
]
(
)
[
]
00 0
,, min , ,,
Тр Тр
uP
B
tU t X Ttl Btu X Ttl t T
∗∗
∈
>∈
.
Из последнего соотношения вытекает, что
() ()
[]
()()
[]
0 0
00 0
,, min ,,
TT
Тр Тр
uP
tt
B
UXTld BuXTld
τ
τττ ττττ
∗∗
∈
>
∫∫
. (6)
Подставим вектор
()
0
0,1lS∈ в правую часть равенства (4). Имеем
[]
()()
[]
0
00 0 0
00
max , , , min , ,
T
Тр Тр
uP
mM
t
ml x X T t l B u X T l d
ε
ττ τ τ
∗∗
∈
∈
=− + + +
∫
()
[]
0
0
,,
T
Тр
t
CXtld
τ
ττ
∗
+
∫
.
С учетом неравенства (6) выводим
() ( )
{}
()
()
{}
00 0 0
1
,maxmax, ,
kk
l
mM
IU x T M ml x T l
ερ
=
∈
⎤
⎡⎤
=⋅= =− + =
⎥
⎣⎦
⎦
[] []
() ()
[]
()
00
0
00
1
max max , , , , ,
TT
l
mM
tt
k
ml XTt x XT B U d Xt C d l
ττ ττ τττ
=
∈
⎡⎤
⎧⎫
⎪⎪
⎢⎥
=− + + + ≥
⎨⎬
⎢⎥
⎪⎪
⎩⎭
⎣⎦
∫∫
[] []
() ()
[]
()
00
000
00
max , , , , ,
TT
mM
tt
k
ml XTt x XT B U d Xt C d l
ττ ττ τττ
∈
⎧⎫
⎪⎪
≥− + + + =
⎨⎬
⎪⎪
⎩⎭
∫∫
[] []
() ()
[]
()
00
000
00
max , , , , ,
TT
mM
tt
ml XTt x XT B U d Xt C d l
ττ ττ τττ
∗
∈
=− + + + =
∫∫
[]
() ()
[]
0
0000
00
max, ,, ,,
T
Тр Тр
mM
t
ml x X T t l B U X T l d
τ
τττ
∗∗
∈
=− + + +
∫
()
[] []
0
00 0
00
,, max, , ,
T
Тр Тр
mM
t
CXtld mlxXTtl
τττ
∗∗
∈
+>−++
∫
 2. ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ЛИНЕЙНЫМИ ДИНАМИЧЕСКИМИ ОБЪЕКТАМИ С ФИКСИРОВАН-
               НЫМ ВРЕМЕНЕМ И ТЕРМИНАЛЬНЫМ КРИТЕРИЕМ КАЧЕСТВА
                                       ⎛ l0 ⎞
                                       ⎜ ⎟
                                         0
при почти всех t ∈ [t0 , T ] , где l = ⎜ ⎟ ∈ R n .
                                    0∗
                                       ⎜ ⎟
                                       ⎜⎜ ⎟⎟
                                        ⎝0⎠

       Доказательство. Допустим, что условие (5) нарушается. Тогда сущест-
вует множество T ∈ [t0 , T ] ненулевой меры, на котором выполняется неравен-

ство
                             B ( t ) U 0 ( t ) , X Тр [T , t ] l 0∗ > min B ( t ) u , X Тр [T , t ] l 0∗ , t ∈ T .
                                                                          u∈P


Из последнего соотношения вытекает, что
                   T                                                           T

                   ∫    B (τ ) U 0 (τ ) , X Тр [T ,τ ] l 0∗ dτ > ∫ min B (τ ) u (τ ) , X Тр [T ,τ ] l 0∗ dτ .                   (6)
                                                                                     u∈P
                   t0                                                          t0


Подставим вектор l 0 ∈ S ( 0,1) в правую часть равенства (4). Имеем
                                                                                    T
           ε = − max m, l + x0 , X
             0
                        m∈M
                                      0               Тр
                                                           [T , t0 ] l   0∗
                                                                               + ∫ min B (τ ) u (τ ) , X Тр [T ,τ ] l 0∗ dτ +
                                                                                         u∈P
                                                                                    t0

                                                     T
                                                   + ∫ C (τ ) , X Тр [t ,τ ] l 0∗ dτ .
                                                     t0


С учетом неравенства (6) выводим

                                              (                      )                   ⎡
                 ε 0 = I ⎡⎣U 0 ( ⋅) ⎤⎦ = ρ { x 0 (T )}k , M = max ⎢ − max m, l + { x 0 (T )}k , l ⎥ =
                                                               l =1
                                                                                         ⎣     m∈M
                                                                                                                       ⎤
                                                                                                                       ⎦

             ⎡           ⎧⎪                T                             T                     ⎫⎪   ⎤
     = max − max m, l + ⎨ X [T , t0 ] x0 + ∫ X [T ,τ ]B (τ ) U (τ ) dτ + ∫ X [t ,τ ]C (τ ) dτ ⎬ , l ⎥ ≥
             ⎢                                                0
        l =1 ⎢                                                                                      ⎥
             ⎣
               m∈M      ⎪⎩                 t0                            t0                   ⎪⎭k   ⎦

                        ⎧⎪                 T                               T                    ⎫⎪
       ≥ − max m, l 0 + ⎨ X [T , t0 ] x0 + ∫ X [T ,τ ]B (τ ) U 0 (τ ) dτ + ∫ X [t ,τ ]C (τ ) dτ ⎬ , l 0 =
              m∈M        ⎩⎪                t0                              t0                    ⎭⎪k
                                                           T                                         T
         = − max m, l 0 + X [T , t0 ] x0 + ∫ X [T ,τ ]B (τ ) U 0 (τ ) dτ + ∫ X [t ,τ ]C (τ ) dτ , l 0∗ =
                       m∈M                                 t0                                        t0

                                                                                    T
                 = − max m, l
                        m∈M
                                      0
                                          + x0 , X   Тр
                                                           [T , t0 ] l   0∗
                                                                               + ∫ B (τ ) U 0 (τ ) , X Тр [T ,τ ] l 0∗ dτ +
                                                                                    t0

                         T
                        + ∫ C (τ ) , X Тр [t ,τ ] l 0∗ dτ > − max m, l 0 + x0 , X Тр [T , t0 ] l 0∗ +
                                                                              m∈M
                         t0




                                                                              70

Страницы