Линейные задачи оптимизации. Ч.2. Оптимальное управление линейными динамическими объектами. Лутманов С.В. - 71 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГНИУ | Пермь

Составители: 

Рубрика: 

2. ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ЛИНЕЙНЫМИ ДИНАМИЧЕСКИМИ ОБЪЕКТАМИ С ФИКСИРОВАН-
НЫМ ВРЕМЕНЕМ И ТЕРМИНАЛЬНЫМ КРИТЕРИЕМ КАЧЕСТВА
71
()
[]
0
0
min , ,
T
Тр
uP
t
BuXTld
τ
ττ
∗
∈
++
∫
()
[]
0
00
,,
T
Тр
t
CXtld
τ
ττε
∗
=
∫
.
Получили противоречие. Теорема доказана.
Очевидно (см. рис. 7), что
()
{
}
()
{}
0
0
0
0
0
k
k
x
Tm
l
x
Tm
−
=
−
.
Представим функцию
Φ
в
виде
( ) {} {}
min ,
kk
mM
xxmxm
∈
Φ
=−−=
{} ( ){} ( )
00
,,
kk
x
mx x mx=− −
n
x
R∈ .
Из теоремы 3 следует, что
)
k
x
x
∂Φ
⎧
⎫
=
⎨
⎬
∂
⎩⎭
{} {}
()
{
}
)
{} ( ){} ( )
0
0
00
,
,
k
kk
mm x
k
kk
xmx
xmxm
x
xmxxmx
=
−
⎧⎫
∂
=−− = =
⎨⎬
∂
⎩⎭
−−
{
}
()
{} ( )
0
0
0
k
k
xmx
l
xmx
−
=
−
.
При
()
0
x
xT=
отсюда выводим
()
()
)
{
}
)
)
()
{}
()
()
()
)
000
0 0
00
000
k
k
k
xT mxT
xT xT
ll
xx
xT mxT
∗
⎧⎫
−
∂Φ ∂Φ
⎪⎪
==⇒=
⎨⎬
∂∂
−
⎪⎪
⎩⎭
.
Тогда условие (5) эквивалентно следующему:
() ()
[]
)
()
()
[]
()
()
[]
00
0
0
,, max,, ,,
Тр Тр
uP
xT xT
B
tU t X Tt Btu X Tt t t T
xx
∈
∂Φ ∂Φ
−=− ∈
∂∂
.
В силу равенства
()
[]
)
)
[]
0
0
0
,,,
Тр
xT
tXTt ttT
x
ψ
∂Φ
=− ∈
∂
необходимые условия оптимальности программного управления, доказанные в
теореме 6, совпадают с аналогичными условиями принципа максимума Л.С.
Понтрягина (теорема 1). Из теоремы 5 также следует, что если величина
M
0
l
()
{
}
0
k
x
T
0
m
()
0
00
,Gtx
Рис. 7 
2. ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ЛИНЕЙНЫМИ ДИНАМИЧЕСКИМИ ОБЪЕКТАМИ С ФИКСИРОВАН-
              НЫМ ВРЕМЕНЕМ И ТЕРМИНАЛЬНЫМ КРИТЕРИЕМ КАЧЕСТВА
                             T                                                                 T
                        + ∫ min B (τ ) u , X Тр [T ,τ ] l 0∗ dτ +                              ∫ C (τ ) ,       X Тр [t ,τ ] l 0∗ dτ = ε 0 .
                                  u∈P
                             t0                                                                t0


      Получили противоречие. Теорема доказана.
      Очевидно (см. рис. 7), что

                                                                                                                                  l =
                                                                                                                                   0
                                                                                                                                            { x (T )}
                                                                                                                                               0
                                                                                                                                                          k
                                                                                                                                                              − m0
                                                                                                                                                                      .
                                                                                                                                            { x (T )}
                                                                                                                                               0
                                                                                                                                                          k
                                                                                                                                                              − m0

                                                M                                                                     Представим функцию Φ в
                                                                                                     виде
                             0
                       l
                                                                                        m0              Φ ( x ) = min                  { x}k − m, { x}k − m               =
          G 0 ( t0 , x0 )                                                                                                  m∈M




                                                  { x (T )}
                                                        0                                                   =          { x}k − m0 ( x ) , { x}k − m0 ( x )                ,
                                                                   k


                       Рис. 7                                                                                                              x ∈ Rn .

                                                                                                     Из теоремы 3 следует, что
                                                                              ⎧ ∂Φ ( x ) ⎫
                                                                              ⎨          ⎬ =
                                                                              ⎩ ∂x ⎭k

   ⎧∂                                                               ⎫                 { x}k − m0 ( x )                                      { x}k − m0 ( x )
  =⎨         { x}k − m, { x}k − m                                   ⎬ =                                                                =                             = l0 .
   ⎩ ∂x                                                m = m0 ( x ) ⎭
                                                                      k        { x}k − m0 ( x ) , { x}k − m0 ( x )                          { x}k − m0 ( x )

      При x = x 0 (T ) отсюда выводим

                      ⎧⎪ ∂Φ ( x 0 (T ) ) ⎫⎪                 { x (T )}
                                                               0
                                                                              − m0 ( x 0 (T ) )                         ∂Φ ( x 0 (T ) )
                                                                                                                                               = l 0∗ .
                                          ⎬ =                                                        =l ⇒
                                                                          k                                 0
                       ⎨
                     ⎪⎩       ∂x         ⎪⎭k                { x (T )}
                                                               0
                                                                          k
                                                                              − m ( x (T ) )
                                                                                  0        0                                      ∂x

      Тогда условие (5) эквивалентно следующему:
                                                      ∂Φ ( x 0 (T ) )                                                            ∂Φ ( x 0 (T ) )
     B ( t )U   0
                    (t ) ,       −X   Тр
                                           [T , t ]                           = max B ( t ) u , − X              Тр
                                                                                                                      [T , t ]                        , t ∈ [ t0 , T ] .
                                                            ∂x                   u∈P                                                   ∂x

      В силу равенства
                                                                                      ∂Φ ( x 0 (T ) )
                                                 ψ 0 ( t ) = − X Тр [T , t ]                            , t ∈ [ t0 , T ]
                                                                                                ∂x
необходимые условия оптимальности программного управления, доказанные в
теореме 6, совпадают с аналогичными условиями принципа максимума Л.С.
Понтрягина (теорема 1). Из теоремы 5 также следует, что если величина


                                                                                      71

Страницы