Линейные задачи оптимизации. Ч.2. Оптимальное управление линейными динамическими объектами. Лутманов С.В. - 73 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГНИУ | Пермь

Составители: 

Рубрика: 

2. ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ЛИНЕЙНЫМИ ДИНАМИЧЕСКИМИ ОБЪЕКТАМИ С ФИКСИРОВАН-
НЫМ ВРЕМЕНЕМ И ТЕРМИНАЛЬНЫМ КРИТЕРИЕМ КАЧЕСТВА
73
Приведем последовательность действий по решению задачи управления
динамической системой на основе теоремы 5.
В начале строится фундаментальная матрица Коши для однородной сис-
темы дифференциальных уравнений и вычисляется опорная функция
(,)Mχ ⋅
целевого множества
M
по формуле
()
(,) max ,, 0,1
mM
Ml ml l Sχ
∈
= ∈ .
Далее для произвольного
(
)
0,1lS∈ решается задача математического про-
граммирования
()
[]
0
,, min,
0
TрТр
l
B
tX Tt u u P
⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟
→∈
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
. (8)
По теореме Вейерштрасса минимум в левой части равенства (8) сущест-
вует для любой пары
()
[
]
(
)
0
,, 0,1tl t T S∈× . Таким образом, определена вектор-
функция
[
]
(
)
0
ˆ
:, 0,1
UtT S P
×
→ , (9)
которая каждой паре
()
[
]
(
)
0
,, 0,1tl t T S∈× ставит в соответствие вектор
(
)
ˆ
,
Utl P
∈
,
доставляющий минимум в условии (8). Явная запись этой функции возможна
для частных случаев управляемой системы, рассмотренных в предыдущем
пункте. Пусть функция
ˆ
U
уже построена. Тогда приходим к следующей задаче
математического программирования:
()
[]
() ()
[]
0
00
00
ˆ
(,) , , ,, ,
00
T
Тр TрТр
t
ll
lMlxXTt UlBtXT d
ε
χτττ
⎛⎞ ⎛⎞
⎜⎟ ⎜⎟
⎜⎟ ⎜⎟
=− + + +
⎜⎟ ⎜⎟
⎜⎟ ⎜⎟
⎜⎟ ⎜⎟
⎝⎠ ⎝⎠
∫

()
[]
0
0
,, max
0
T
Тр
t
l
CXT d
τττ
⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟
+→
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
∫
, 1l = . (10) 
 2. ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ЛИНЕЙНЫМИ ДИНАМИЧЕСКИМИ ОБЪЕКТАМИ С ФИКСИРОВАН-
               НЫМ ВРЕМЕНЕМ И ТЕРМИНАЛЬНЫМ КРИТЕРИЕМ КАЧЕСТВА
       Приведем последовательность действий по решению задачи управления
динамической системой на основе теоремы 5.
       В начале строится фундаментальная матрица Коши для однородной сис-
темы дифференциальных уравнений и вычисляется опорная функция χ( M ,⋅)
целевого множества M по формуле
                                           χ( M , l ) = max m, l , l ∈ S (0,1) .
                                                         m∈M


       Далее для произвольного l ∈ S ( 0,1) решается задача математического про-

граммирования
                                                                  ⎛l ⎞
                                                                  ⎜ ⎟
                                                                    0
                                          BTр ( t ) X Тр [T , t ] ⎜ ⎟ , u   → min,         u∈P.            (8)
                                                                  ⎜ ⎟
                                                                  ⎜⎜ ⎟⎟
                                                                   ⎝0⎠

       По теореме Вейерштрасса минимум в левой части равенства (8) сущест-
вует для любой пары ( t , l ) ∈ [t0 , T ] × S ( 0,1) . Таким образом, определена вектор-

функция
                                                         Uˆ : [t0 , T ] × S ( 0,1) → P ,                   (9)

которая каждой паре ( t , l ) ∈ [t0 , T ] × S ( 0,1) ставит в соответствие вектор Uˆ ( t , l ) ∈ P ,
доставляющий минимум в условии (8). Явная запись этой функции возможна
для частных случаев управляемой системы, рассмотренных в предыдущем
пункте. Пусть функция Û уже построена. Тогда приходим к следующей задаче
математического программирования:
                                                    ⎛l ⎞                                       ⎛l ⎞
                                                    ⎜ ⎟       T                                ⎜ ⎟
                                                    ⎜  0⎟                                         0
        ε ( l ) = − χ (M , l ) +   x0 , X [T , t0 ]
                                         Тр
                                                            + ∫ U (τ , l ) , B ( t ) X [T ,τ ] ⎜ ⎟ dτ +
                                                                 ˆ            Tр      Тр
                                                    ⎜ ⎟       t0
                                                                                               ⎜ ⎟
                                                    ⎜⎜ 0 ⎟⎟                                    ⎜⎜ 0 ⎟⎟
                                                     ⎝ ⎠                                        ⎝ ⎠

                                                              ⎛l ⎞
                                     T                        ⎜ ⎟
                                                                0
                                   +∫      C (τ ) , X [T ,τ ] ⎜ ⎟ dτ → max , l = 1 .
                                                     Тр
                                                                                                          (10)
                                     t0
                                                              ⎜ ⎟
                                                              ⎜⎜ ⎟⎟
                                                               ⎝0⎠




                                                               73

Страницы