Линейные задачи оптимизации. Ч.2. Оптимальное управление линейными динамическими объектами. Лутманов С.В. - 74 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГНИУ | Пермь

Составители: 

Рубрика: 

2. ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ЛИНЕЙНЫМИ ДИНАМИЧЕСКИМИ ОБЪЕКТАМИ С ФИКСИРОВАН-
НЫМ ВРЕМЕНЕМ И ТЕРМИНАЛЬНЫМ КРИТЕРИЕМ КАЧЕСТВА
74
Эта задача всегда имеет решение, а в случае когда
()
00
0l
εε
=>, ее реше-
ние единственное. Заметим, что приведенная задача математического
программирования осложнена наличием определенных интегралов в
выражении для целевой функции. Эти интегралы обычно не берутся
аналитически даже, если функция
ˆ
U
определена явно.
Пусть
0
0
ε
> и
()
0
0,1lS∈ - максимизирующий вектор. Тогда программное
управление, удовлетворяющее необходимому условию оптимальности, опреде-
ляется по формуле
(
)
(
)
00
ˆ
,
UUl
⋅
=⋅ . (11)
После подстановки этого управления в исходные дифференциальные уравнения
движения объекта,
последние могут быть проинтегрированы с заданными на-
чальными условиями. Далее проверяется справедливость равенства
(
)
00
IU
ε
⎡
⎤
=
⋅
⎣
⎦
.
В случае его выполнения программная стратегия, определенная равенством
(11), является оптимальной.
Пример 5*. Рассматривается следующая управляемая динамическая
система
1121
21 22
29 ,
2
x
xxu
x
xxu
=++
=+ +
,
[]
1
22 2
12
2
1, 0,1
u
uP Ru u t
u
⎧⎫
⎛⎞
⎪⎪
∈= ∈ + ≤ ∈
⎨⎬
⎜⎟
⎝⎠
⎪⎪
⎩⎭
,
()()
22
1
12
22
2
50 30
1
23
m
mm
M
m
⎧⎫
−−
⎛⎞
⎪⎪
=+≤
⎨⎬
⎜⎟
⎝⎠
⎪⎪
⎩⎭
, 2kn
=
= ,
(
)()
12
000xx==
.
Фундаментальная матрица Коши для однородной системы дифференци-
альных уравнений здесь имеет вид
[]
() ()
(
)
() ()
(
)
() ()
()
() ()
()
66
3
1
22
66
11
62
11
,
11
tt t t
tttt
ee e e
Xt
eeee
ττ τ τ
ττττ
τ
−− − −− −
−− − −− −
⎛⎞
+−+
⎜⎟
=
⎜⎟
⎜⎟
−+ +
⎝⎠
.
Вычислим опорную функцию
(
)
,M
χ
⋅
терминального множества
M
. Име-
ем 
2. ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ЛИНЕЙНЫМИ ДИНАМИЧЕСКИМИ ОБЪЕКТАМИ С ФИКСИРОВАН-
              НЫМ ВРЕМЕНЕМ И ТЕРМИНАЛЬНЫМ КРИТЕРИЕМ КАЧЕСТВА
      Эта задача всегда имеет решение, а в случае когда ε 0 = ε ( l 0 ) > 0 , ее реше-

ние   единственное.         Заметим,                что         приведенная                             задача         математического
программирования           осложнена                    наличием                        определенных                    интегралов     в
выражении для целевой функции. Эти интегралы обычно не берутся
аналитически даже, если функция Û определена явно.
      Пусть ε 0 > 0 и l 0 ∈ S ( 0,1) - максимизирующий вектор. Тогда программное

управление, удовлетворяющее необходимому условию оптимальности, опреде-
ляется по формуле
                                                        U 0 ( ⋅) = Uˆ ( ⋅, l 0 ) .                                                   (11)

После подстановки этого управления в исходные дифференциальные уравнения
движения объекта, последние могут быть проинтегрированы с заданными на-
чальными условиями. Далее проверяется справедливость равенства
                                                    ε 0 = I ⎡⎣U 0 ( ⋅) ⎤⎦ .

В случае его выполнения программная стратегия, определенная равенством
(11), является оптимальной.
      Пример 5*. Рассматривается следующая управляемая динамическая
система
            x1 = 2 x1 + 9 x2 + u1 ,                             ⎪⎧⎛ u ⎞                   ⎫⎪
                                      ,                 u ∈ P = ⎨⎜ 1 ⎟ ∈ R 2 u12 + u22 ≤ 1⎬ , t ∈ [ 0,1] ,
            x2 = x1 + 2 x2 + u2                                  ⎪⎩⎝ u2 ⎠                  ⎪⎭

                ⎧⎪⎛ m1 ⎞ ( m1 − 50 )2 ( m2 − 30 )2    ⎫⎪
            M = ⎨⎜ ⎟            2
                                     +      2
                                                   ≤ 1⎬ , k = n = 2 , x1 ( 0 ) = x2 ( 0 ) = 0 .
                 ⎩⎪⎝ m2 ⎠     2            3           ⎪⎭

      Фундаментальная матрица Коши для однородной системы дифференци-
альных уравнений здесь имеет вид

                      X [ t ,τ ] = ⎜
                                       2            (
                                   ⎛ 1 e −( t −τ ) 1 + e6( t −τ )   )     3
                                                                          2   e
                                                                                  −( t −τ )
                                                                                                 ( −1 + e ( ) ) ⎞⎟ .
                                                                                                          6 t −τ




                                    ⎝6
                                        e       (
                                   ⎜⎜ 1 −( t −τ )
                                                   −1 + e ( )
                                                         6 t −τ
                                                                     )        1
                                                                              2   e
                                                                                      − ( t −τ   )
                                                                                                   (1 + e ( ) ) ⎟⎟⎠
                                                                                                         6 t −τ




      Вычислим опорную функцию χ ( M , ⋅) терминального множества M . Име-

ем



                                                               74

Страницы