Линейные задачи оптимизации. Ч.2. Оптимальное управление линейными динамическими объектами. Лутманов С.В. - 76 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГНИУ | Пермь

Составители: 

Рубрика: 

2. ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ЛИНЕЙНЫМИ ДИНАМИЧЕСКИМИ ОБЪЕКТАМИ С ФИКСИРОВАН-
НЫМ ВРЕМЕНЕМ И ТЕРМИНАЛЬНЫМ КРИТЕРИЕМ КАЧЕСТВА
76
()
() ()
(
)
() ()
(
)
()
() ()
()
() ()
()
()
161 1 61
11
12
26
12
161 161
3
1
12
22
12
11
,,
ˆ
,
11
,,
eele el
ll
Utl
eeleel
ll
ττ τ τ
ττ ττ
τ
τ
−− − −− −
−− − −− −
⎛⎞
++−+
⎜⎟
−
⎜⎟
Ε
=
⎜⎟
⎜⎟
−+ + +
⎜⎟
−
⎜⎟
Ε
⎝⎠
. (12)
Задача математического программирования (10) формулируется сле-
дующим образом:
(
)
()
1
22 22
12 1 2 12 12
0
4 9 50 30 , , max, 1ll l l lld ll
ττ
=− + + + − Ε → + =
∫
.
Ее решение в силу равенства
2
21
1ll
=
±−
сводится к проблеме максимиза-
ции функции одного переменного
[
]
1
1,1l ∈−
. Максимум целевой функции и век-
тор, на котором этот максимум достигается, соответственно имеют вид
()
0
00 0
1
0
2
0.316
11.874 0,
0.949
l
ll
l
εε
−
⎛⎞
⎛⎞
== > ==
⎜⎟
⎜⎟
−
⎝⎠
⎝⎠
.
Подставляя
0
l
в (12,) находим управление
()
() ()
(
)
() ( )
(
)
()
() ()
()
() ()
()
()
161 1 61
00
11
12
26
00
12
0
161 161
00
3
1
12
22
00
12
11
,,
11
,,
l
eele el
ll
Ut
eeleel
ll
ττ τ τ
ττ ττ
τ
τ
−− − −− −
−− − −− −
⎛⎞
++−+
⎜⎟
−
⎜⎟
Ε
⎜⎟
=
⎜⎟
−+ + +
⎜⎟
−
⎜⎟
Ε
⎝⎠
,
удовлетворяющее необходимым условиям оптимальности.
Подставим это управление в исходное дифференциальное уравнение и
проинтегрируем полученное уравнение с заданными начальными условиями.
Ниже на рис. 8 приводятся графики изменения фазовых координат по
времени для найденного закона движения объекта 
2. ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ЛИНЕЙНЫМИ ДИНАМИЧЕСКИМИ ОБЪЕКТАМИ С ФИКСИРОВАН-
              НЫМ ВРЕМЕНЕМ И ТЕРМИНАЛЬНЫМ КРИТЕРИЕМ КАЧЕСТВА

                                               (               )                 (
                                 ⎛ 1 e −(1−τ ) 1 + e6(1−τ ) l1 + 1 e−(1−τ ) −1 + e6(1−τ ) l2 ⎞
                                 ⎜− 2                              6                          )⎟
                                 ⎜                         Ε (τ , l1 , l2 )                    ⎟
                  Uˆ ( t , l ) = ⎜                                                             ⎟.   (12)
                                 ⎜−
                                               (                    )                (        )
                                 ⎜ 32 e −(1−τ ) −1 + e6(1−τ ) l1 + 12 e−(1−τ ) 1 + e6(1−τ ) l2 ⎟
                                                                                               ⎟
                                 ⎜                         Ε (τ , l1 , l2 )                    ⎟
                                 ⎝                                                             ⎠

     Задача математического программирования (10) формулируется сле-
дующим образом:

                  (                                )
                                                       1
             =−       4l12 + 9l22 + 50l1 + 30l2 − ∫ Ε (τ , l1 , l2 ) dτ → max, l12 + l22 = 1 .
                                                       0


     Ее решение в силу равенства l2 = ± 1 − l12 сводится к проблеме максимиза-
ции функции одного переменного l1 ∈ [ −1,1] . Максимум целевой функции и век-

тор, на котором этот максимум достигается, соответственно имеют вид
                                                                        ⎛ l 0 ⎞ ⎛ −0.316 ⎞
                         ε 0 = ε ( l 0 ) = 11.874 > 0, l 0 = ⎜ 10 ⎟ = ⎜                  ⎟.
                                                                        ⎝ l2 ⎠ ⎝ −0.949 ⎠

Подставляя l 0 в (12,) находим управление

                           ⎜−
                                           (               )                 (            )
                           ⎛ 12 e −(1−τ ) 1 + e6(1−τ ) l10 + 16 e −(1−τ ) −1 + e6(1−τ l ) l20 ⎞
                                                                                              ⎟
                           ⎜                          Ε (τ , l1 , l2 )
                                                                0 0
                                                                                              ⎟
                  U (t ) =
                   0
                           ⎜                                                                  ⎟,
                           ⎜− 2
                                           (               1    )  2                 (
                           ⎜ 3 e −(1−τ ) −1 + e6(1−τ ) l 0 + 1 e−(1−τ ) 1 + e6(1−τ ) l 0 ⎟)2
                                                                                              ⎟
                           ⎜
                           ⎝                          Ε ( 1 2)
                                                          τ , l 0 0
                                                                 , l                          ⎟
                                                                                              ⎠

удовлетворяющее необходимым условиям оптимальности.
      Подставим это управление в исходное дифференциальное уравнение и
проинтегрируем полученное уравнение с заданными начальными условиями.
     Ниже на рис. 8 приводятся графики изменения фазовых координат по
времени для найденного закона движения объекта




                                                           76

Страницы