Линейные задачи оптимизации. Ч.2. Оптимальное управление линейными динамическими объектами. Лутманов С.В. - 78 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГНИУ | Пермь

Составители: 

Рубрика: 

2. ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ЛИНЕЙНЫМИ ДИНАМИЧЕСКИМИ ОБЪЕКТАМИ С ФИКСИРОВАН-
НЫМ ВРЕМЕНЕМ И ТЕРМИНАЛЬНЫМ КРИТЕРИЕМ КАЧЕСТВА
78
() ()
()
() ()
()
1
2
2
161 161
3
1
12
22
1 1 0.5eeleel
ττ ττ
−− − −− − ⎤
⎡⎤
+−++++
⎥
⎣⎦
⎦
.
Пусть
() ()
()
00
,, .xxtxV⋅= ⋅ ⋅

. Тогда
()
()
()
1
2
1
45.878
, 11.923
1
15.733
x
Iu
x
⎛⎞
⎛⎞
=⋅=⎡⎤
⎜⎟
⎜⎟
⎣⎦
⎝⎠
⎝⎠
.
Таким образом,
()
(
)
0
11.923 11.8735Iu IU
⎡
⎤
⋅= > = ⋅
⎡⎤
⎣⎦
⎣
⎦
.
Пример 6*. В условиях предыдущего примера принимается, что
1
2
12
2
1, 1
u
PRuu
u
⎧
⎫
⎛⎞
⎪
⎪
=
∈≤≤
⎨
⎬
⎜⎟
⎝⎠
⎪
⎪
⎩⎭
.
Тогда
()
(
)
() ()
()
() ()
()
1
161 1 61
22
11
12 1 2 1 2
26
0
4 9 50 30 1 1llllleeleeld
ττ τ τ
ε
τ
−− − −− −
== − + + + − + + − + −
∫
() ()
()
() ()
()
1
161 161
3
1
12
22
0
11eeleeld
ττ ττ
τ
−− − −− −
−−+++
∫
.
Функция
ˆ
U
, доставляющая минимум в выражении (8), определяется
формулой
()
() ()
(
)
() ()
(
)
() ()
()
() ()
()
161 1 61
11
12
26
161 161
3
1
12
22
11
ˆ
,
11
sign e e l e e l
Utl
sign e e l e e l
ττ τ τ
ττ ττ
−− − −− −
−− − −− −
⎛⎞
⎡⎤
−++−+
⎣⎦
⎜⎟
=
⎜⎟
⎡⎤
−−+++
⎜⎟
⎣⎦
⎝⎠
, (13)
а задача математического программирования (10) формулируется следующим
образом:
(
)
22
12
max, 1lll
ε
→+=.
Ниже приводится ее численное решение
()
0
000
1
0
2
0.304
, 9.036 0
0.953
l
ll
l
εε
⎛⎞
⎛⎞
== = = >
⎜⎟
⎜⎟
−
⎝⎠
⎝⎠
.
Подставляя
0
l в (13), находим программное управление
()
()
()
1
0
2
sign z t
Ut
sign z t
⎛⎞
−
⎡
⎤
⎣
⎦
⎜⎟
=
⎜⎟
−
⎡
⎤
⎣
⎦
⎝⎠
, (14)
где 
2. ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ЛИНЕЙНЫМИ ДИНАМИЧЕСКИМИ ОБЪЕКТАМИ С ФИКСИРОВАН-
              НЫМ ВРЕМЕНЕМ И ТЕРМИНАЛЬНЫМ КРИТЕРИЕМ КАЧЕСТВА
                                                                                                                                               1

                                                 ( −1 + e ) l +                                  (1 + e )                     ⎤2           2
                            + ⎡ 23 e                                                                                l2 + 0.5⎤ ⎥ .
                                       −(1−τ )            6(1−τ )                   −(1−τ )               6(1−τ )
                                                                            1
                                                                                e
                              ⎣                                         1   2
                                                                                                                            ⎦ ⎦

      Пусть x ( ⋅) = x ( ⋅, t0 , x0 .V ( ⋅) ) . Тогда

                                           ⎛ x1 (1) ⎞ ⎛ 45.878 ⎞
                                           ⎜        ⎟=⎜        ⎟ , I ⎡⎣u ( ⋅) ⎤⎦ = 11.923 .
                                           ⎝ x2 (1) ⎠ ⎝ 15.733 ⎠

      Таким образом,
                                           I ⎡⎣u ( ⋅) ⎤⎦ = 11.923 > 11.8735 = I ⎡⎣U 0 ( ⋅) ⎤⎦ .

      Пример 6*. В условиях предыдущего примера принимается, что
                                                       ⎧⎪⎛ u ⎞                     ⎫⎪
                                                   P = ⎨⎜ 1 ⎟ ∈ R 2 u1 ≤ 1, u2 ≤ 1⎬ .
                                                        ⎪⎩⎝ u2 ⎠                  ⎭⎪

      Тогда

                     (                                      )
                                                                    1
      ε ( l ) == −       4l12 + 9l22 + 50l1 + 30l2 − ∫ 12 e
                                                                    0
                                                                            − (1−τ )
                                                                                         (1 + e ( ) ) l +
                                                                                                     6 1−τ
                                                                                                               1
                                                                                                                        1
                                                                                                                        6   e
                                                                                                                                − (1−τ )
                                                                                                                                           ( −1 + e ( ) ) l
                                                                                                                                                       6 1−τ
                                                                                                                                                               2   dτ −

                                   1
                                − ∫ 32 e
                                   0
                                            −(1−τ )
                                                      ( −1 + e ( ) ) l +
                                                                6 1−τ
                                                                            1
                                                                                     1
                                                                                     2   e
                                                                                             − (1−τ )
                                                                                                        (1 + e ( ) ) l
                                                                                                               6 1−τ
                                                                                                                                2   dτ .


      Функция Û , доставляющая минимум в выражении (8), определяется
формулой

                                        ⎜        ⎣2                     (      1    6        )
                                        ⎛ − sign ⎡ 1 e −(1−τ ) 1 + e6(1−τ ) l + 1 e−(1−τ ) −1 + e6(1−τ ) l ⎤ ⎞
                                                                                                              2
                                                                                                                ⎦⎟  (                              )
                         Uˆ ( t , l ) = ⎜                                                                         ⎟,                                                      (13)
                                                 ⎡ 3 −(1−τ )
                                        ⎜ − sign 2 e
                                        ⎝        ⎣
                                                               −1 + e   (
                                                                       6(1−τ )        1 −(1−τ )
                                                                                 l1 + 2 e        )
                                                                                                1+ e
                                                                                                     6(1−τ )    ⎤
                                                                                                             l2 ⎟
                                                                                                                ⎦⎠      (                          )
а задача математического программирования (10) формулируется следующим
образом:
                                                        ε ( l ) → max, l12 + l22 = 1 .

Ниже приводится ее численное решение
                                      ⎛ l10 ⎞ ⎛ 0.304 ⎞
                                   l =⎜ 0⎟=⎜          ⎟ , ε = ε ( l ) = 9.036 > 0 .
                                       0                   0       0

                                      ⎝ l2 ⎠ ⎝ −0.953 ⎠

Подставляя l 0 в (13), находим программное управление
                                                                  ⎛ − sign ⎡⎣ z1 ( t ) ⎤⎦ ⎞
                                                       U 0 (t ) = ⎜                       ⎟,                                                                              (14)
                                                                  ⎜ − sign ⎡ z2 ( t ) ⎤ ⎟
                                                                  ⎝        ⎣            ⎦⎠

где

                                                                             78

Страницы