Линейные задачи оптимизации. Ч.2. Оптимальное управление линейными динамическими объектами. Лутманов С.В. - 80 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГНИУ | Пермь

Составители: 

Рубрика: 

2. ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ЛИНЕЙНЫМИ ДИНАМИЧЕСКИМИ ОБЪЕКТАМИ С ФИКСИРОВАН-
НЫМ ВРЕМЕНЕМ И ТЕРМИНАЛЬНЫМ КРИТЕРИЕМ КАЧЕСТВА
80
здесь снова выполняется и, следовательно, управление (12) является опти-
мальным. Финальное расстояние до терминального множества оказалось
меньше того, что было получено в примере 5. Этот результат ожидаемый,
так как область изменения вектора управляющих параметров в рассматри-
ваемом случае шире, чем в примере 5.
Для сравнения вычислим финальное расстояние от фазового вектора до
терминального
множества, когда в качестве допустимого программного
управления взята вектор- функция
()
[]
1
,0,1
1
ut t
⎛⎞
=∈
⎜⎟
⎝⎠
.
Пусть
() ()
()
00
,, ,xxtxu⋅= ⋅ ⋅

. Тогда
()
()
()
1
2
1
58.334
, 10.513
1
19.866
x
Iu
x
⎛⎞
⎛⎞
=⋅=
⎡⎤
⎜⎟
⎜⎟
⎣⎦
⎝⎠
⎝⎠
.
Таким образом,
()
(
)
0
10.513 9.036Iu IU
⎡
⎤
⋅
=>=⋅⎡⎤
⎣⎦
⎣
⎦
.
Рассмотрим управляемый объект, динамика которого описывается линей-
ными дифференциальными уравнениями с переменными коэффициентами.
Пример 7*.
13
24
,
,
x
x
x
x
=
=
(
)
()
3341
23 42
cos ,
1
sin ,
1
xtxtxu
x
xtxu
t
=++
=+ +
+
[]
1
22 2
12
2
1, 0,1
u
uP Ru u t
u
⎧⎫
⎛⎞
⎪⎪
∈= ∈ + ≤ ∈
⎨⎬
⎜⎟
⎝⎠
⎪⎪
⎩⎭
,
()( )
22
1
2
12
2
2, 5 4 1
m
kM Rm m
m
⎧
⎫
⎛⎞
⎪
⎪
== ∈ −+−≤
⎨
⎬
⎜⎟
⎝⎠
⎪
⎪
⎩⎭
,
()
(
)
(
)
(
)
1234
00000xxxx
=
===.
Построим фундаментальную матрицу Коши для однородной системы диффе-
ренциальных уравнений и запишем выражение (4) для данного случая 
2. ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ЛИНЕЙНЫМИ ДИНАМИЧЕСКИМИ ОБЪЕКТАМИ С ФИКСИРОВАН-
              НЫМ ВРЕМЕНЕМ И ТЕРМИНАЛЬНЫМ КРИТЕРИЕМ КАЧЕСТВА
здесь снова выполняется и, следовательно, управление (12) является опти-
мальным. Финальное расстояние до терминального множества оказалось
меньше того, что было получено в примере 5. Этот результат ожидаемый,
так как область изменения вектора управляющих параметров в рассматри-
ваемом случае шире, чем в примере 5.
     Для сравнения вычислим финальное расстояние от фазового вектора до
терминального множества, когда в качестве допустимого программного
управления взята вектор- функция
                                                       ⎛ 1⎞
                                             u ( t ) = ⎜ ⎟ , t ∈ [ 0,1] .
                                                       ⎝ 1⎠

     Пусть x ( ⋅) = x ( ⋅, t0 , x0 , u ( ⋅) ) . Тогда

                                ⎛ x1 (1) ⎞ ⎛ 58.334 ⎞
                                ⎜        ⎟=⎜        ⎟ , I ⎡⎣u ( ⋅) ⎤⎦ = 10.513 .
                                ⎝ x2 (1) ⎠ ⎝ 19.866 ⎠

     Таким образом,
                                  I ⎡⎣u ( ⋅) ⎤⎦ = 10.513 > 9.036 = I ⎡⎣U 0 ( ⋅) ⎤⎦ .

     Рассмотрим управляемый объект, динамика которого описывается линей-
ными дифференциальными уравнениями с переменными коэффициентами.
     Пример 7*.
                                                        x1 = x3 ,
                                                        x2 = x4 ,

                                         x3 = ( cos t ) x3 + tx4 + u1 ,
                                                  1
                                         x2 =        x3 + ( sin t ) x4 + u2 ,
                                                t +1
                                        ⎧⎪⎛ u ⎞                   ⎫⎪
                                u ∈ P = ⎨⎜ 1 ⎟ ∈ R 2 u12 + u22 ≤ 1⎬ , t ∈ [ 0,1] ,
                                         ⎪⎩⎝ u2 ⎠                  ⎪⎭

                                       ⎧⎪⎛ m ⎞                                 ⎫⎪
                           k = 2, M = ⎨⎜ 1 ⎟ ∈ R 2 ( m1 − 5 ) + ( m2 − 4 ) ≤ 1⎬ ,
                                                             2            2


                                      ⎩⎪⎝ m2 ⎠                                ⎭⎪

                                    x1 ( 0 ) = x2 ( 0 ) = x3 ( 0 ) = x4 ( 0 ) = 0 .

Построим фундаментальную матрицу Коши для однородной системы диффе-
ренциальных уравнений и запишем выражение (4) для данного случая


                                                           80

Страницы