Линейные задачи оптимизации. Ч.2. Оптимальное управление линейными динамическими объектами. Лутманов С.В. - 69 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГНИУ | Пермь

Составители: 

Рубрика: 

2. ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ЛИНЕЙНЫМИ ДИНАМИЧЕСКИМИ ОБЪЕКТАМИ С ФИКСИРОВАН-
НЫМ ВРЕМЕНЕМ И ТЕРМИНАЛЬНЫМ КРИТЕРИЕМ КАЧЕСТВА
69
()
{}
()
()
{}
00 00
0
,, ,,0,1
max , min , max max , min ,
k k
qGtxT qGtxTmM lS mM
ml q l ml q l
ε
∗∗
∈∈∈∈∈
⎡⎤
−+ ≤−+ =
⎢⎥
⎣⎦
.
Получили противоречие, которое и доказывает единственность максими-
зирующего вектора
()
0
0,1lS∈
.
Геометрическая интерпретация полученного результата (см. рис. 7) со-
стоит в том, что вектор
0
l является опорным к множеству
M
, а вектор
0
l
−
-
опорным к множеству
()
{
}
00
,
k
Gt x .
Используя формулу Коши, придадим равенству (2) другую форму
0
ε
=
()
[]
[] []
()()
[]
()
0
00
00
,
1
max max , min , , , ,
TT
utT
lmM
tt
k
ml X Tt x X T B u d X t C d l
ττττ τττ
⋅∈Π
=∈
⎡ ⎤
⎧⎫
⎪⎪
⎢ ⎥
=− + + + =
⎨⎬
⎢ ⎥
⎪⎪
⎩⎭
⎣ ⎦
∫∫
()
[]
[] []
()()
[]
()
0
00
00
,
1
max max , min , , , ,
TT
utT
lmM
tt
ml X Tt x X T B u d X t C d l
ττττ τττ
∗
⋅∈Π
=∈
⎡ ⎤
⎢ ⎥
=− + + + =
⎢ ⎥
⎣ ⎦
∫∫
[]
()
[]
[]
()()
0
0
00
,
1
max max , , , min , ,
T
utT
lmM
t
ml X T t x l X T B u l d
τ
ττ τ
∗∗
⋅∈Π
=∈
⎡
⎢
=− + + +
⎢
⎣
∫
[]
()
0
,,
T
t
Xt C l d
τ
ττ
∗
=
∫
[]
()
[]
0
00
1
max max , , , min , ,
T
Тр
Тр
uP
lmM
t
ml x X T t l B u X T l d
τ
ττ
∗∗
∈
=∈
⎡
⎢
=− + + +
⎢
⎣
∫
()
[]
0
,,
T
Тр
t
CXTld
τ
ττ
∗
+
∫
. (4)
Здесь обозначено
0
0
n
l
lR
∗
⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟
=∈
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
.
Теорема 5. Пусть
0
0
ε
> и
(
)
[
]
0
0
,UtT⋅∈Π - оптимальная программная
стратегия. Тогда
() ()
[
]
(
)
[
]
00 0
,, min , ,
Тр Тр
uP
B
tU t X Ttl Btu X Ttl
∗
∗
∈
= (5) 
2. ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ЛИНЕЙНЫМИ ДИНАМИЧЕСКИМИ ОБЪЕКТАМИ С ФИКСИРОВАН-
              НЫМ ВРЕМЕНЕМ И ТЕРМИНАЛЬНЫМ КРИТЕРИЕМ КАЧЕСТВА
                                                                          ⎡                                 ⎤
             − max m, l ∗ +         min               q, l ∗ ≤ max ⎢ − max m, l + min                  q, l ⎥ = ε 0 .
                                q∈{G ( t0 , x0 ,T )}k                            q∈{G ( t0 , x0 ,T )}k
               m∈M                                             l∈S ( 0,1)
                                                                          ⎣ m∈M                             ⎦

        Получили противоречие, которое и доказывает единственность максими-
зирующего вектора l 0 ∈ S ( 0,1) .

        Геометрическая интерпретация полученного результата (см. рис. 7) со-
стоит в том, что вектор l 0 является опорным к множеству M , а вектор −l 0 -
опорным к множеству {G ( t0 , x0 )}k .

        Используя формулу Коши, придадим равенству (2) другую форму
                                                                   ε0 =
          ⎡                               ⎧⎪                   T                             T                    ⎫⎪    ⎤
  = max ⎢ − max m, l + min
     l =1 ⎢
                                            ⎨ X [T , t0 ] x0 + ∫ X [T ,τ ]B (τ ) u (τ ) dτ + ∫ X [t ,τ ]C (τ ) dτ ⎬ , l ⎥ =
            m∈M       u ( ⋅)∈Π[t0 ,T ]
                                           ⎪⎩                                                                      ⎪⎭k  ⎥
          ⎣                                                    t0                            t0
                                                                                                                        ⎦

           ⎡                                             T                             T                                             ⎤
   = max ⎢ − max m, l + min             X [T , t0 ] x0 + ∫ X [T ,τ ]B (τ ) u (τ ) dτ + ∫ X [t ,τ ]C (τ ) dτ , l ∗                    ⎥=
                       u ( ⋅)∈Π[t0 ,T ]
           ⎣⎢                                                                                                                        ⎥⎦
      l =1    m∈M
                                                         t0                            t0


                     ⎡                                                                    T
             = max ⎢ − max m, l + X [T , t0 ] x0 , l ∗ + min                              ∫ X [T ,τ ]B (τ ) u (τ ) , l
                                                                                                                         ∗
                                                                                                                              dτ +
                                                        u ( ⋅)∈Π [t0 ,T ]
                l =1
                     ⎢⎣ m∈M                                                               t0


                                                      T

                                                      ∫ X [t ,τ ]C (τ ) , l             dτ =
                                                                                   ∗
                                              +
                                                      t0


                       ⎡                                                           T
               = max ⎢ − max m, l + x0 , X [T , t0 ] l ∗ +                         ∫ min B (τ ) u, X [T ,τ ] l
                                                    Тр                                                  Тр          ∗
                                                                                                                             dτ +
                  l =1
                       ⎢⎣ m∈M
                                                                                   t0
                                                                                        u∈P



                                                           T
                                                  +        ∫ C (τ ) ,    X Тр [T ,τ ] l ∗ dτ .                                            (4)
                                                           t0


                     ⎛l ⎞
                     ⎜ ⎟
                       0
Здесь обозначено l = ⎜ ⎟ ∈ R n .
                  ∗
                     ⎜ ⎟
                     ⎜⎜ ⎟⎟
                      ⎝0⎠
        Теорема 5. Пусть ε 0 > 0 и U 0 ( ⋅) ∈ Π [t0 , T ] - оптимальная программная

стратегия. Тогда
                             B ( t ) U 0 ( t ) , X Тр [T , t ] l 0∗ = min B ( t ) u , X Тр [T , t ] l 0∗                                  (5)
                                                                             u∈P




                                                                        69

Страницы