Линейные задачи оптимизации. Ч.2. Оптимальное управление линейными динамическими объектами. Лутманов С.В. - 62 стр.

 2. ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ЛИНЕЙНЫМИ ДИНАМИЧЕСКИМИ ОБЪЕКТАМИ С ФИКСИРОВАН-
               НЫМ ВРЕМЕНЕМ И ТЕРМИНАЛЬНЫМ КРИТЕРИЕМ КАЧЕСТВА
                                      ⎧                           n

                                      ⎪     βi ,               ∑ b ( t )ψ
                                                                        ki      k   > 0,
                                      ⎪                        k =1

                                      ⎪                           n
                      Uˆ i ( t ,ψ ) = ⎨∀ui ∈ [α i , βi ] ,     ∑ b ( t )ψ
                                                                        ki      k   = 0, i = 1,     ,r ,
                                      ⎪                        k =1
                                      ⎪                           n
                                      ⎪
                                      ⎩
                                            αi ,               ∑ b ( t )ψ
                                                               k =1
                                                                        ki      k   < 0.


        Отсюда следует, что оптимальное управление u 0 ( t ) = Uˆ ( t ,ψ 0 ( t ) ) , t ∈ [t0 , T ]

имеет кусочно-постоянные компоненты. При дополнительных предположениях
относительно матриц A и B можно дать оценку сверху для числа переключе-
ний каждой из компонент оптимального управления.
       Теорема 4 (А. А. Фельдбаума). Пусть в задаче линейного быстродействия
A = const , B = const , множество P имеет вид (1), все собственные значения мат-

рицы A - действительные числа и вектор-функция ψ 0 ( ⋅) не является триви-

альным решением сопряженной системы дифференциальных уравнений (1.3.7).
Тогда каждая компонента оптимального управления u 0 ( t ) = Uˆ ( t ,ψ 0 ( t ) ) , t ∈ [t0 , T ]

имеет не более n − 1 переключений, где n -размерность фазового вектора.
       Доказательству теоремы предпошлем лемму.
       Лемма 3. Пусть λ1 , , λm – действительные попарно различные числа, а
f1 ,   , f m – многочлены с действительными коэффициентами, имеющие сте-

пень k1 , , k m , соответственно. Тогда функция F : R 1 → R 1 , определенная форму-
лой
                                     F (t ) = f1 (t )e λ1t +          + f m (t )e λmt , t ∈ R 1 ,          (11)
имеет не более чем k1 +             + k m + m − 1 корней.

       Доказательство. Проведем индукцию по числу m . При m = 1 лемма очевид-
но справедлива, ибо функция F тогда имеет вид F (t ) = f 1 (t )e λ t , t ∈ R 1 , ее дейст-            1




вительные корни совпадают с действительными корнями полинома f 1 и их
число не более чем k1 . Предположим, что лемма уже доказана для случая, ко-
гда в формуле (11) содержится меньше чем m слагаемых.




                                                             62