Линейные задачи оптимизации. Ч.2. Оптимальное управление линейными динамическими объектами. Лутманов С.В. - 58 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГНИУ | Пермь

Составители: 

Рубрика: 

2. ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ЛИНЕЙНЫМИ ДИНАМИЧЕСКИМИ ОБЪЕКТАМИ С ФИКСИРОВАН-
НЫМ ВРЕМЕНЕМ И ТЕРМИНАЛЬНЫМ КРИТЕРИЕМ КАЧЕСТВА
58
()
1
22
12
2
22
12
ˆ
,,0Ut
ψ
ψψ
ψψ
ψ
ψψ
⎛⎞
⎜⎟
+
⎜⎟
=
≠
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
+
⎝⎠
, (2)
система дифференциальных уравнений (1.10) и граничные условия (1.11) запи-
сываются так:
1
12
22
12
2
21
22
12
12
21
,
,
,
,
xx
xx
ψ
ψψ
ψ
ψ
ψ
ψ
ψ
ψ
ψ
=+
+
=− +
+
=−
=
(3)
() ()
(
)
(
)
(
)()
121122
03,02, 6 , 4xx x x
ψ
ππψππ
=− = =− =− . (4)
Общее решение сопряженной системы находится независимо от ос-
тальных уравнений системы
(
)
(
)
112 1 2 212 2 1
,, cos sin, ,, cos sintc c c t c t tc c c t c t
ψψ
=+ =−. (5)
Преобразуем первые два уравнения в (3) с учетом (5)
(
)
()
12
12
22
11
21
21
22
11
cos sin
,
cos sin
ctct
xx
cc
ctct
xx
cc
+
=+
+
−
=− +
+
и проинтегрируем полученную систему
()
12
1 1234 3 4
22 22
12 12
cos sin
,,,, cos sin
tc t tc t
tc c c c c t c t
cc cc
=+++
++
,
()
21
21234 4 3
22 22
12 12
cos sin
,,,, cos sin
tc t tc t
x
tc c c c c t c t
cc cc
=+−−
++
. (6)
Граничные условия (4) принимают вид
12
34 1 32 4
22 22
12 12
3, 2, 6 , 4
cc
cc c cc c
cc cc
ππ
⎛⎞⎛⎞
⎜⎟⎜⎟
=− = − = + − = +
⎜⎟⎜⎟
++
⎝⎠⎝⎠
. (7)
Решением нелинейной системы уравнений (7) будут числа
12 34
2.0562, 1.2967, 3, 2cc cc
∗∗ ∗∗
==−=−=
.. (8) 
2. ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ЛИНЕЙНЫМИ ДИНАМИЧЕСКИМИ ОБЪЕКТАМИ С ФИКСИРОВАН-
              НЫМ ВРЕМЕНЕМ И ТЕРМИНАЛЬНЫМ КРИТЕРИЕМ КАЧЕСТВА
                                                         ⎛   ψ1                      ⎞
                                                         ⎜                           ⎟
                                                         ⎜ ψ 12 +ψ 22                ⎟
                                            U ( t ,ψ ) = ⎜
                                             ˆ
                                                                                     ⎟ ,ψ ≠ 0 ,                           (2)
                                                             ψ2
                                                         ⎜                           ⎟
                                                         ⎜ ψ 2 +ψ 2                  ⎟
                                                         ⎝ 1       2                 ⎠

система дифференциальных уравнений (1.10) и граничные условия (1.11) запи-
сываются так:
                                                                          ψ1
                                                   x1 = x2 +                          ,
                                                                       ψ 12 +ψ 22
                                                                            ψ2
                                                   x2 = − x1 +                            ,                               (3)
                                                                         ψ 12 +ψ 22
                                                   ψ 1 = −ψ 2 ,
                                                   ψ 2 = ψ 1,

                   x1 ( 0 ) = −3, x2 ( 0 ) = 2, ψ 1 (π ) = −6 x1 (π ) , ψ 2 (π ) = −4 x2 (π ) .                           (4)

     Общее решение сопряженной системы находится независимо от ос-
тальных уравнений системы
                ψ 1 ( t , c1 , c2 ) = c1 cos t + c2 sin t , ψ 2 ( t , c1 , c2 ) = c2 cos t − c1 sin t .                   (5)

Преобразуем первые два уравнения в (3) с учетом (5)

                                          x1 = x2 +
                                                           ( c1 cos t + c2 sin t ) ,
                                                                       c12 + c12

                                          x2 = − x1 +
                                                             ( c2 cos t − c1 sin t )
                                                                         c12 + c12

и проинтегрируем полученную систему
                                                   tc1 cos t                           tc2 sin t
                  x1 ( t , c1 , c2 , c3 , c4 ) =                  + c3 cos t +                        + c4 sin t ,
                                                    c +c
                                                       2
                                                       1
                                                              2
                                                              2                           c12 + c22

                                                       tc2 cos t                              tc1 sin t
                      x2 ( t , c1 , c2 , c3 , c4 ) =                     + c4 cos t −                      − c3 sin t .   (6)
                                                           c12 + c22                           c12 + c22

Граничные условия (4) принимают вид
                                           ⎛ πc           ⎞            ⎛ πc           ⎞
                 c3 = −3, c4 = 2, − c1 = 6 ⎜     1
                                                     + c3 ⎟ , − c2 = 4 ⎜     2
                                                                                 + c4 ⎟ .                                 (7)
                                           ⎜ c2 + c2      ⎟            ⎜ c2 + c2      ⎟
                                           ⎝ 1     2      ⎠            ⎝ 1     2      ⎠

Решением нелинейной системы уравнений (7) будут числа
                                c1∗ = 2.0562, c2∗ = −1.2967, c3∗ = −3, c4∗ = 2 ..                                         (8)


                                                                  58

Страницы