Линейные задачи оптимизации. Ч.2. Оптимальное управление линейными динамическими объектами. Лутманов С.В. - 56 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГНИУ | Пермь

Составители: 

Рубрика: 

2. ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ЛИНЕЙНЫМИ ДИНАМИЧЕСКИМИ ОБЪЕКТАМИ С ФИКСИРОВАН-
НЫМ ВРЕМЕНЕМ И ТЕРМИНАЛЬНЫМ КРИТЕРИЕМ КАЧЕСТВА
56
Теорема 3. Пусть
,,
A
const B const C const===
и тройка
()
(
)
(
)
00 0
,,Ux
ψ
⋅⋅ ⋅
удовлетворяет условиям теоремы 1. Тогда функция Л.С. Понтрягина
() () ()
()
() () ()
(
)
000 0 0 0
ˆ
,, , , ,Htx t U t t t Ax t BUt t C
ψψ ψ
=
++,
вычисленная вдоль оптимальной пары
(
)
(
)
(
)
00
,x
ψ
⋅
⋅ , остается постоянной на
всем промежутке времени
[
]
0
,tT.
Доказательство. Вычисляем
() () () () () () ()
00 0 00 0 0
,,,
ddd
t Axt BU t C t Axt t BU t C
dt dt dt
ψψψ
++= + +=
() () () () () ()
()
00 00 0 0
ˆ
,, ,
d
tAxt tAxt tBU t C
dt
ψψ ψψ
=++ +=
() () () () () ()
()
00 00 0 0
ˆ
,,,
Тр Тр
d
A t Ax t A t x t t BU t C
dt
ψψψψ
=− + + + =
() () () () ()
()
() ()
()
00 00 0 0 0
ˆˆ
,, ,
Тр Тр
d
A t Ax t A t Ax t BU t C t BU t C
dt
ψψψψψ
=− + + + + + =
() ()
()
() ()
()
00 00
ˆˆ
,,
d
tBU t C tBU t C
dt
ψψ ψψ
=− + + + =
() ()
()
() ()
()
00 00
ˆˆ
,,
d
tBU t tBU t
dt
ψψ ψψ
=− +
. (12)
В силу теоремы 2 справедливо равенство
() ()
()
() ()
()
() ()
()
00 0000
ˆˆˆ
,,,
d
tBU t tBU t tBU t
dt t
ψψ ψψψψ
∗
∗
∂
==
∂
.
Тогда из (12) следует, что
() () () () () ()
00 0 00 0
,0,
d
t Ax t BU t C t Ax t BU t C const
dt
ψψ
++=⇒ ++=.
[
]
0
,ttT∈ .
Теорема доказана.
2.3 Частные случаи геометрических ограничений на вектор управ-
ляющих параметров. Иногда функция (1.8) может быть выписана в явном ви-
де. Рассмотрим два таких частных случая.
Случай 1. Пусть
()
()
2
2
1
1, 0, 1, ,
i
r
r
i
i
i
u
PuR a i r
a
=
⎧⎫
⎪⎪
=∈ ≤ > =
⎨⎬
⎪⎪
⎩⎭
∑
. 
2. ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ЛИНЕЙНЫМИ ДИНАМИЧЕСКИМИ ОБЪЕКТАМИ С ФИКСИРОВАН-
              НЫМ ВРЕМЕНЕМ И ТЕРМИНАЛЬНЫМ КРИТЕРИЕМ КАЧЕСТВА
       Теорема 3. Пусть A = const , B = const , C = const                                           и тройка U 0 ( ⋅) , x 0 ( ⋅) ,ψ 0 ( ⋅)

удовлетворяет условиям теоремы 1. Тогда функция Л.С. Понтрягина
                     H ( t , x 0 ( t ) ,U 0 ( t ) ,ψ 0 ( t ) ) = ψ 0 ( t ) , Ax 0 ( t ) + BUˆ ( t ,ψ 0 ( t ) ) + C ,

вычисленная вдоль оптимальной пары ( x 0 ( ⋅) ,ψ 0 ( ⋅) ) , остается постоянной на

всем промежутке времени [t0 , T ] .

       Доказательство. Вычисляем
          d                                            d                          d
             ψ 0 ( t ) , Ax 0 ( t ) + BU 0 ( t ) + C =    ψ 0 ( t ) , Ax 0 ( t ) + ψ 0 ( t ) , BU 0 ( t ) + C =
          dt                                           dt                         dt
                                                                                 d
                  = ψ 0 ( t ) , Ax 0 ( t ) + ψ 0 ( t ) , Ax 0 ( t ) +               ψ 0 ( t ) , BUˆ (ψ 0 ( t ) ) + C =
                                                                                 dt
                                                                                     d
              = − AТрψ 0 ( t ) , Ax 0 ( t ) + AТрψ 0 ( t ) , x 0 ( t ) +                ψ 0 ( t ) , BUˆ (ψ 0 ( t ) ) + C =
                                                                                     dt
                                                                                     d
  = − AТрψ 0 ( t ) , Ax 0 ( t ) + AТрψ 0 ( t ) , Ax 0 ( t ) + BUˆ (ψ 0 ( t ) ) + C +    ψ 0 ( t ) , BUˆ (ψ 0 ( t ) ) + C =
                                                                                     dt
                                                              d
                       = − ψ 0 ( t ) , BUˆ (ψ 0 ( t ) ) + C +    ψ 0 ( t ) , BUˆ (ψ 0 ( t ) ) + C =
                                                              dt
                                                                                d
                                 = − ψ 0 ( t ) , BUˆ (ψ 0 ( t ) ) +                ψ 0 ( t ) , BUˆ (ψ 0 ( t ) ) .                   (12)
                                                                                dt
       В силу теоремы 2 справедливо равенство
              d                            ∂∗
                 ψ ( t ) , BU (ψ ( t ) ) = ∗ ψ 0 ( t ) , BUˆ (ψ 0 ( t ) ) = ψ 0 ( t ) , BUˆ (ψ 0 ( t ) ) .
                  0          ˆ  0

              dt                          ∂t
Тогда из (12) следует, что
     d
        ψ 0 ( t ) , Ax 0 ( t ) + BU 0 ( t ) + C = 0 ⇒ ψ 0 ( t ) , Ax 0 ( t ) + BU 0 ( t ) + C = const . t ∈ [t0 , T ] .
     dt
Теорема доказана.
      2.3 Частные случаи геометрических ограничений на вектор управ-
ляющих параметров. Иногда функция (1.8) может быть выписана в явном ви-
де. Рассмотрим два таких частных случая.
      Случай 1. Пусть
                                       ⎧
                                       ⎪                 r
                                                               (u )
                                                                  i 2          ⎫
                                                                               ⎪
                                   P = ⎨u ∈ R r        ∑                    ≤ 1⎬ , ai > 0, i = 1,     ,r .
                                                               ( ai )
                                                                        2
                                       ⎪⎩               i =1                   ⎪⎭



                                                                        56

Страницы