Линейные задачи оптимизации. Ч.2. Оптимальное управление линейными динамическими объектами. Лутманов С.В. - 54 стр.

 2. ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ЛИНЕЙНЫМИ ДИНАМИЧЕСКИМИ ОБЪЕКТАМИ С ФИКСИРОВАН-
               НЫМ ВРЕМЕНЕМ И ТЕРМИНАЛЬНЫМ КРИТЕРИЕМ КАЧЕСТВА
      Лемма 1. Функция F 0 : X → R 1 , определенная равенством (1), является не-
прерывной в каждой точке x ∈ X .
      Доказательство. Пусть x ∈ X . Для всякого ∆x ∈ R n , x + ∆x ∈ X положим
                 ∆F 0 ( x ) = F 0 ( x + ∆x ) − F 0 ( x ) = F (x + ∆x, y 0 ( x + ∆x )) − F (x, y 0 ( x )) .

Справедливо двойное неравенство
          F (x + ∆x, y 0 ( x )) − F (x, y 0 ( x )) ≤ ∆F 0 ( x ) ≤ F (x + ∆x, y 0 ( x + ∆x )) − F (x, y 0 ( x + ∆x )),   (2)
из которого следует, что ∆F 0 ( x ) → 0 при ∆x → 0 . Лемма доказана.
      Определение 1. Будем говорить, что многозначное отображение
χ : X → 2Y , где через 2Y обозначено множество всех подмножеств множества

Y , называется полунепрерывным сверху по включению в точке x∗ ∈ X , если для

всякой последовательности { x( s ) } → x∗ и { y ( s ) } → y∗ , y ( s ) ∈ χ ( x( s ) ) , s = 1,2,                     имеет

место включение y∗ ∈ χ ( x∗ ) .

      Заметим, что если отображение χ однозначно, т.е. множество χ ( x ) состо-
ит ровно из одного элемента при всех x ∈ X , то из полунепрерывности сверху
по включению этого отображения следует его непрерывность в обычном смыс-
ле.
      Лемма 2. Многозначное отображение Y 0 : X → 2 Y полунепрерывно сверху
по включению в каждой точке x ∈ X .
      Доказательство. От противного приходим к существованию точки x ∗ ∈ X
и таких последовательностей
                        {x s }→ x ∗ , x s ∈ X ,   {y }→ y
                                                     0
                                                     s            ∗    ∈ Y , y s0 ∈ Y 0 ( x s ), s = 1,2         ,
что y∗ ∉ Y 0 ( x∗ ) . Тогда найдется число ε > 0 , для которого
                                                  F 0 (x∗ ) − F (x∗ , y∗ ) = ε .                                        (3)
Из непрерывности функций F , F 0 и сходимости последовательностей {x s }, {y s }
к точкам x ∗ , y ∗ , соответственно, для достаточно больших номеров s будут
справедливы неравенства
                                                              ε                                              ε
                                 F 0 ( x∗ ) − F 0 ( x s ) <       ,      F ( x∗ , y∗ ) − F (x s , y s0 ) <       .      (4)
                                                              3                                              3


                                                                  54