Линейные задачи оптимизации. Ч.2. Оптимальное управление линейными динамическими объектами. Лутманов С.В. - 46 стр.

                         1. ЛИНЕЙНЫЕ УПРАВЛЯЕМЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ ОБЪЕКТЫ

где U ( s ) ( ⋅) ∈ Π [t0 , T ] . В силу слабой компактности множества Π [t0 , T ] [16 ] из по-

следовательности функций {U ( s ) ( ⋅)} можно извлечь подпоследовательность,

слабо сходящуюся к функции U ( ⋅) ∈ Π [t0 , T ] . Переходя к пределу по подходящей

подпоследовательности индексов в (2), получаем равенство
                                               T                               T
                        q∗ = X [T , t0 ] x0 + ∫ X [T ,τ ] B (τ ) U (τ )dτ + ∫ X [T ,τ ] C (τ )dτ .                      (3)
                                               t0                             t0


       Равенство (3) означает, что q∗ ∈ G ( t0 , x0 , T ) . Отсюда следует замкнутость

области достижимости. Докажем ее выпуклость. Пусть q (1) , q (2 ) ∈ ∈ G ( t0 , x0 , T ) .

Это означает, что существуют функции U (1) ( ⋅) ,U ( 2) ( ⋅) ∈ Π [t0 , T ] , для которых

справедливы равенства
                                                    T                                   T
                             q ( ) = X [T , t0 ] x0 + ∫ X [T ,τ ] B (τ ) U ( ) (τ )dτ + ∫ X [T ,τ ] C (τ )dτ , i = 1, 2 . (4)
                               i                                         i

                                                    t0                                  t0


Для любого α ∈ [0,1] положим qα = αq (1) + (1 − α )q (2 ) . В силу (1) имеем
                                   T                                                            T
          qα = X [T , t0 ] x0 +    ∫ X [T ,τ ] B (τ ) ⎡⎣αU (τ ) + (1 − α )U (τ )⎤⎦dτ + ∫ X [T ,τ ] C (τ )dτ .
                                                          (1)              ( 2)
                                                                                                                        (5)
                                   t0                                                           t0


Из выпуклости множества P следует, что αU (1) (τ ) + (1 − α )U ( 2) (τ ) ∈ P для всех

τ ∈ [ t0 , T ] .          Это                  означает                справедливость                         включения

αU (1) ( ⋅) + (1 − α ) U ( 2) ( ⋅) ∈ Π [t0 , T ] . Тогда в силу (5) заключаем, что qα ∈ G ( t0 , x0 , T ) . Та-

ким образом, область достижимости выпукла. Теорема доказана.




                           Упражнения для самостоятельной работы
         Даны дифференциальные уравнения движения управляемых линейных
динамических объектов
               x1 = −3x1 + 4 x 2 − 6 x3 + u1 ,                                     x1 = −2 x1 − 4 x 2 − 60 x3 + u1 ,
         а) x 2 = x1 − 2 x 2 + 2 x3 + u 2 ,                                  б) x 2 = −4 x1 − x 2 − 51x3 + u 2 ,
               x3 = 2 x1 − x 2 + 3x3 + u 3 ,                                       x3 = 2 x1 − 2 x 2 + x3 + u 3 ,




                                                            46