Линейные задачи оптимизации. Ч.2. Оптимальное управление линейными динамическими объектами. Лутманов С.В. - 43 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГНИУ | Пермь

Составители: 

Рубрика: 

1. ЛИНЕЙНЫЕ УПРАВЛЯЕМЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ ОБЪЕКТЫ
43
Полагаем
()
)
()
()
()
() (
000
0
,,,
() , , ,
,,.
ss
ss
ss
s
ss
xttt
xt xt ttT
xT tTT
∗
∗
∗
⎧
⎡
∈
⎣
⎪
⎪
⎡
⎤
=∈
⎨
⎣
⎦
⎪
⎤
∈
⎪
⎦
⎩
(5)
Из компактности множеств
, P
Ξ
и формул (4) (5) следует, что функции,
образующие последовательность
()
()
{
}
s
x
∗
⋅
, равномерно ограничены и равносте-
пенно непрерывны на отрезке
0
,tT
∗
∗
⎡
⎤
⎣
⎦
. По теореме Арцела (при необходимости
следует перейти к подпоследовательности) эта последовательность равно-
мерно сходится на отрезке
0
,tT
∗
∗
⎡⎤
⎣⎦
к некоторой абсолютно непрерывной функ-
ции
()
0
x
∗
⋅ . Очевидно, что
(
)
(
)
00 00 0 0
00
,
T
x
txxTx
∗∗
==.
Обозначим через
()
0
x ⋅ сужение функции
(
)
0
x
∗
на отрезке
00
0
,tT
⎡⎤
⎣⎦
и дока-
жем существование допустимой программной стратегии
()
0
U ⋅ , для которой
почти всюду на отрезке
00
0
,tT
⎡⎤
⎣⎦
выполняется равенство
()
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
00 0
x
tAtxtBtUtCt=+ +
. (6)
Пусть
()
0
0
,ttT∈ – точка, где функция
(
)
0
x
⋅
имеет производную. Для дос-
таточно больших номеров
1, 2,s
=
и малых положительных чисел
h
будет
выполнено вложение
[
]
0
,,
s
s
tt h t T
⎡
⎤
+⊂
⎣
⎦
. Из равенства
()
() ( )
()
() () () ()
[]
000
0
,,
ttt
ss
ss
ttt
x
tx Ax d BU d Cdttth
τ ττ τ ττ ττ
∗∗∗
=+ + + ∈ +
∫∫∫
следует
(
)
()
(
)
(
)
()
()
() () () ()
1
ss
th
s
s
t
xthxt
Ax BU C d
hh
τ
τττττ
+
+−
⎡
⎤
=++
⎣
⎦
∫
. (7)
В силу равномерной сходимости последовательности функций
()
()
{
}
s
x
⋅
к
функции
()
0
x ⋅ , для любого 0
ε
> и достаточно малого 0h > , начиная с некото-
рого номера
s , будет выполняться включение 
                           1. ЛИНЕЙНЫЕ УПРАВЛЯЕМЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ ОБЪЕКТЫ

Полагаем
                                                               ⎧ x0s ,        t ∈ ⎡⎣t0∗ , t0s ) ,
                                                               ⎪
                                                               ⎪ s
                                                  x( ) (t ) = ⎨ x ( ) ( t ) , t ∈ ⎡⎣t0s , T s ⎤⎦ ,
                                                    s ∗
                                                                                                                            (5)
                                                              ⎪ (s) s
                                                              ⎪⎩ x (T ) , t ∈ (T , T ⎤⎦ .
                                                                                      s     ∗




       Из компактности множеств Ξ, P и формул (4) (5) следует, что функции,

образующие последовательность { x( s )∗ ( ⋅)} , равномерно ограничены и равносте-

пенно непрерывны на отрезке ⎡⎣t0∗ , T ∗ ⎤⎦ . По теореме Арцела (при необходимости

следует перейти к подпоследовательности) эта последовательность равно-
мерно сходится на отрезке ⎡⎣t0∗ , T ∗ ⎤⎦ к некоторой абсолютно непрерывной функ-

ции x 0∗ ( ⋅) . Очевидно, что

                                                     x 0∗ ( t00 ) = x00 , x 0∗ (T 0 ) = xT 0 .

       Обозначим через x 0 ( ⋅) сужение функции x 0∗ ( ⋅) на отрезке ⎡⎣t00 , T 0 ⎤⎦ и дока-

жем существование допустимой программной стратегии U 0 ( ⋅) , для которой

почти всюду на отрезке ⎡⎣t00 , T 0 ⎤⎦ выполняется равенство

                                             x0 ( t ) = A ( t ) x0 ( t ) + B ( t )U 0 ( t ) + C ( t ) .                     (6)

     Пусть t ∈ ( t0 , T 0 ) – точка, где функция x 0 ( ⋅) имеет производную. Для дос-

таточно больших номеров s = 1, 2,                                        и малых положительных чисел h будет
выполнено вложение [t , t + h ] ⊂ ⎡⎣t0s , T s ⎤⎦ . Из равенства
                                        t                           t                             t
            x   (s)
                      (t ) = x
                             s
                             0    + ∫ A (τ ) x    (s)
                                                        (τ ) dτ + ∫ B (τ )U (τ ) dτ + ∫ C (τ ) dτ ,
                                                                                s
                                                                                                          t ∈ [t , t + h]
                                       t0∗                         t0∗                           t0∗


следует
                             x(
                                  s)
                                       ( t + h ) − x( s ) ( t ) = 1 t + h ⎡ A τ x( s ) τ + B τ U s τ + C τ ⎤ dτ .
                                             h                 h    t
                                                                      ∫ ⎣ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )⎦                              (7)

       В силу равномерной сходимости последовательности функций { x( s ) ( ⋅)} к

функции x 0 ( ⋅) , для любого ε > 0 и достаточно малого h > 0 , начиная с некото-

рого номера s , будет выполняться включение


                                                                          43

Страницы