Линейные задачи оптимизации. Ч.2. Оптимальное управление линейными динамическими объектами. Лутманов С.В. - 41 стр.

                    1. ЛИНЕЙНЫЕ УПРАВЛЯЕМЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ ОБЪЕКТЫ

                      t ∈ [t0 , T ] , t0 ∈ θ 0 = ⎣⎡t0∗ , t0∗ ⎦⎤ , T ∈ θ1 = ⎣⎡T∗ , T ∗ ⎦⎤ , t0∗ < T∗ ,

                 x ∈ R n , u ∈ P ⊂ R r , x0 ∈ S0 ( t0 ) , t0 ∈ θ 0 , x (T ) ∈ S1 (T ) , T ∈ θ1 ,

                                 I [t 0 , T , x 0 , u(⋅), x (⋅)] = Φ (t 0 , T , x 0 , x (T ) )

выведем достаточные условия существования ее решения в классе интегрируе-
мых по Лебегу программных стратегий.
    Теорема 5 (существование решения задачи теории оптимального управле-
ния).
    Пусть выполнены следующие предположения:
    1) множество P ⊂ R r компактно и выпукло;
    2) множество Ξ = {e = (t 0 , T , x0 , xT ) x0 ∈ S 0 (t 0 ), xT ∈ S1 (T ), t 0 ∈ θ 0 , T ∈ θ 1 } ⊂ R 2(n +1)

компактно;
    3) множество допустимых наборов G = {( t0 , T , x0 ,U (⋅), x(⋅) )} содержит хотя

бы один элемент;
    4) множество допустимых программных стратегий принадлежит про-
странству функций, интегрируемых по Лебегу на интервале управления.
    Тогда существует допустимый набор ( t00 , T 0 , x00 ,U 0 (⋅), x 0 (⋅) ) ∈ G , на котором

функционал I достигает минимума.
    Доказательству теоремы предпошлем лемму.
    Лемма 2. Пусть R : [t 0 , t ] → K ⊂ R n – интегрируемая по Лебегу функция и
множество K - выпуклый компакт. Тогда
                                                          t
                                                  1
                                                t − t0   ∫ R(τ ) dτ ∈ K .
                                                         t0
                                                                                                           (1)

    Доказательство. Известно [16], что для всякой интегрируемой по Лебегу
функции R , определенной на интервале [t 0 , t ] , найдется последовательность
ступенчатых функций {R s }, определенных и равномерно сходящихся на этом
интервале к функции R , причем справедливо равенство
                                                   t                  t
                                            lim ∫ R s (τ ) dτ = ∫ R (τ ) dτ .                              (2)
                                            s→∞
                                                  t0                  t0




                                                              41