Линейные задачи оптимизации. Ч.2. Оптимальное управление линейными динамическими объектами. Лутманов С.В. - 8 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГНИУ | Пермь

Составители: 

Рубрика: 

1. ЛИНЕЙНЫЕ УПРАВЛЯЕМЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ ОБЪЕКТЫ
8
1. ЛИНЕЙНЫЕ УПРАВЛЯЕМЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ ОБЪЕКТЫ
1.1. Примеры линейных управляемых динамических объектов. Рас-
смотрим управляемые объекты, состояние которых в каждый момент времени
1
tR∈ характеризуется набором величин
1
,,
n
x
x" . Эти величины называются фа-
зовыми координатами объекта. Управление объектом осуществляется посред-
ством воздействий
1
,,
r
uu" , которые будем называть управляющими параметра-
ми объекта. Принимаем, что изменение фазовых координат во времени описы-
вается системой обыкновенных линейных дифференциальных уравнений вида
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
1111 1 111 1 1
11 11
,
..........................................................................................
,
nn rr
n n nn n n nr r n
x
atx atx btu btu ct
x
atx atx btu btu ct
=++++++
=++++++
""
""
(1)
где
(
)
(
)
1
, (), , ,, 1,,, 1,,
ij ij ik ik i i
aatbbtccttRij nk r===∈ =="" - известные непрерыв-
ные функции времени.
Система дифференциальных уравнений (1) допускает векторно-
матричную запись
(
)
(
)
(
)
x
At x Btu Ct=++
. (2)
Здесь обозначено
()
() ()
() ()
()
() ()
() ()
()
()
()
11 11 1 11 1 1
11
,, , , .
nr
nr n nn n nr n
x
uatatbtbt ct
xuAt Bt Ct
x
uatatbtbtct
⎛⎞⎛⎞⎛⎞
⎛⎞ ⎛⎞
⎟⎟⎟
⎟⎟⎜ ⎜ ⎜
⎜⎜
⎟⎟⎟
⎟⎟
⎜⎜⎜
⎜⎜
⎟⎟⎟
⎟⎟
⎜⎜⎜
⎜⎜
⎟⎟⎟
⎟⎟
== = = =
⎜⎜⎜
⎜⎜
⎟⎟⎟
⎟⎟
⎜⎜⎜
⎜⎜
⎟⎟⎟
⎟⎟
⎜⎜⎜
⎟⎟⎟
⎜⎜
⎟⎟
⎜⎜⎜
⎟⎟⎟
⎟⎟
⎜⎜
⎜⎜
⎟⎟
⎟⎟⎟
⎜⎜⎜
⎝⎠ ⎝⎠
⎝⎠⎝⎠⎝⎠
""
"" """ """ "
""
Векторы
n
x
R∈
и
r
uR∈
называются фазовым вектором и вектором управ-
ляющих параметров объекта, соответственно.
Система дифференциальных уравнений (1), или ее векторно-матричная
форма (2), является математической моделью (с той или иной степенью точно-
сти) реального управляемого физического объекта. В дальнейшем эту матема-
тическую модель будем называть линейным управляемым динамическим объ-
ектом. Следуя [17], приведем примеры линейных управляемых
динамических
объектов. 
                        1. ЛИНЕЙНЫЕ УПРАВЛЯЕМЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ ОБЪЕКТЫ

      1. ЛИНЕЙНЫЕ УПРАВЛЯЕМЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ ОБЪЕКТЫ


       1.1. Примеры линейных управляемых динамических объектов. Рас-
смотрим управляемые объекты, состояние которых в каждый момент времени
t ∈ R1 характеризуется набором величин x1 ,", xn . Эти величины называются фа-

зовыми координатами объекта. Управление объектом осуществляется посред-
ством воздействий u1 ,", ur , которые будем называть управляющими параметра-
ми объекта. Принимаем, что изменение фазовых координат во времени описы-
вается системой обыкновенных линейных дифференциальных уравнений вида
                 x1 = a11 (t ) x1 + " + a1n (t ) xn + b11 (t ) u1 + " + b1r (t ) ur + c1 (t ) ,
                 ..........................................................................................                 (1)
                 x n = an1 (t ) x1 + " + ann (t ) xn + bn1 (t ) u1 + " + bnr (t ) ur + cn (t ) ,

где aij = aij (t ), bik = bik (t ), ci = ci (t ) , t ∈ R1 , i, j = 1,", n, k = 1,", r - известные непрерыв-

ные функции времени.
       Система           дифференциальных                            уравнений                  (1)       допускает   векторно-
матричную запись
                                                  x = A(t ) x + B (t ) u + C (t ) .                                        (2)

       Здесь обозначено
                                      ⎛                     ⎞          ⎛                     ⎞   ⎛ c1 (t )⎞⎟
         ⎛ x1 ⎞⎟
         ⎜⎜⎜ ⎟⎟
                    ⎛ u1 ⎞⎟
                     ⎜⎜ ⎟            ⎜⎜ a11 (t ) " a1n (t )⎟⎟          ⎜⎜b11 (t ) " b1r (t )⎟⎟   ⎜⎜        ⎟
     x = ⎜"⎟⎟ , u = ⎜⎜"⎟⎟⎟ , A(t ) = ⎜⎜ " "           " ⎟⎟⎟ , B (t ) = ⎜⎜ " " " ⎟⎟⎟ , C (t ) = ⎜⎜ " ⎟⎟⎟.
           ⎜⎜ ⎟⎟      ⎜⎜ ⎟⎟             ⎜                     ⎟          ⎜⎜                    ⎟  ⎜⎜        ⎟
         ⎜⎝ xn ⎠⎟   ⎜⎝ur ⎠⎟           ⎜⎝⎜an1 (t ) " ann (t )⎠⎟⎟         ⎜⎝bn1 (t ) " bnr (t )⎠⎟⎟ ⎜⎝cn (t )⎠⎟⎟

       Векторы x ∈ R n и u ∈ R r называются фазовым вектором и вектором управ-
ляющих параметров объекта, соответственно.
       Система дифференциальных уравнений (1), или ее векторно-матричная
форма (2), является математической моделью (с той или иной степенью точно-
сти) реального управляемого физического объекта. В дальнейшем эту матема-
тическую модель будем называть линейным управляемым динамическим объ-
ектом. Следуя [17], приведем примеры линейных управляемых динамических
объектов.



                                                                      8

Страницы