Линейные задачи оптимизации. Ч.2. Оптимальное управление линейными динамическими объектами. Лутманов С.В. - 10 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГНИУ | Пермь

Составители: 

Рубрика: 

1. ЛИНЕЙНЫЕ УПРАВЛЯЕМЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ ОБЪЕКТЫ
10
Обычно физический объект можно моде-
лировать линейными дифференциальными урав-
нениями лишь в дополнительных предположе-
ниях об области изменения его фазовых коорди-
нат.
Пример 2. Рассмотрим упругий вал, несу-
щий жестко насаженные маховики
,AB и
C
(см.
рис. 2). Система вращается вокруг оси вала с
постоянной угловой скоростью
ω , однако вслед-
ствие возмущений возникают крутильные коле-
бания, которые необходимо успокоить управ-
ляющими моментами
12
,uu, приложенными к ма-
ховикам
A
и C соответственно. Система имеет три степени свободы. В ка-
честве обобщенных координат выбираются следующие величины:
2
q
- угол от-
клонения маховика
B
от заданного движения системы
(
)
0
,ttttψω= ≥ ;
13
,qq -
суть углы закручивания маховиков
A и
C
соответственно относительно ма-
ховика
B
.
Пусть
,,
ABC
I
II - моменты инерции маховиков. Вычислим кинетическую
энергию всей системы. Имеем
(
)
(
)
(
)
22 2
111
12 2 32
222
ABC
TI qq I q I qqωωω= +++ ++ ++

.
Обозначим через
12
,cc крутильные жесткости соответствующих участков ва-
ла. Принимаем, что система работает в пределах деформаций, подчиняющих-
ся закону Гука. Тогда потенциальная энергия системы определяется равенст-
вом
22
11
11 2 3
22
cq cqΠ =+.
Из выражения для элементарной работы
(
)
11 2 2 33 11 1 2 2 2 3
AQqQqQq uq uuq uqδδδ δδ δδ=++=++ +
следует, что обобщенные силы
,1,2,3
i
Qi= выражаются равенствами
1121233
,,QuQuuQu==+=.
C
B
A
3
q
2
q
1
q
Рис. 2 
                      1. ЛИНЕЙНЫЕ УПРАВЛЯЕМЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ ОБЪЕКТЫ

                                                        Обычно физический объект можно моде-
                                              лировать линейными дифференциальными урав-
                                              нениями лишь в дополнительных предположе-
                                      q1      ниях об области изменения его фазовых коорди-
      A
                                              нат.
                                                        Пример 2. Рассмотрим упругий вал, несу-
      B                             q2
                                              щий жестко насаженные маховики A, B и C (см.

      C                             q3        рис. 2). Система вращается вокруг оси вала с
                                              постоянной угловой скоростью ω , однако вслед-
                                              ствие возмущений возникают крутильные коле-
                                              бания, которые необходимо успокоить управ-
             Рис. 2
                                              ляющими моментами u1 , u2 , приложенными к ма-
ховикам A и C соответственно. Система имеет три степени свободы. В ка-
честве обобщенных координат выбираются следующие величины: q2 - угол от-
клонения маховика B от заданного движения системы ψ (t ) = ωt , t ≥ t0 ; q1 , q3 -

суть углы закручивания маховиков A и C соответственно относительно ма-
ховика B .
          Пусть I A , I B , I C - моменты инерции маховиков. Вычислим кинетическую
энергию всей системы. Имеем
                                                  2                    2                          2
                      T = 12 I A (ω + q1 + q 2 ) + 12 I B (ω + q 2 ) + 12 I C (ω + q 3 + q 2 ) .

Обозначим через c1 , c2 крутильные жесткости соответствующих участков ва-
ла. Принимаем, что система работает в пределах деформаций, подчиняющих-
ся закону Гука. Тогда потенциальная энергия системы определяется равенст-
вом
                                                 Π = 12 c1q12 + 12 c2 q32 .

          Из выражения для элементарной работы
                       δ A = Q1δ q1 + Q2δ q2 + Q3δ q3 = u1δ q1 + (u1 + u2 ) δ q2 + u2δ q3

следует, что обобщенные силы Qi , i = 1, 2,3 выражаются равенствами
                                           Q1 = u1 , Q2 = u1 + u2 , Q3 = u3 .

                                                            10

Страницы