Линейные задачи оптимизации. Ч.2. Оптимальное управление линейными динамическими объектами. Лутманов С.В. - 12 стр.

                      1. ЛИНЕЙНЫЕ УПРАВЛЯЕМЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ ОБЪЕКТЫ

                                   ⎛    0      0            0         1 0 0⎞⎟
                                   ⎜⎜                                          ⎟               ⎛0          0 ⎞⎟
                                    ⎜   0      0           0          0 1 0⎟⎟⎟                 ⎜                 ⎟
              ⎛ x1 ⎞⎟ ⎜⎜⎜                                                     ⎟⎟⎛ x1 ⎞⎟ ⎜⎜⎜ 0             0 ⎟⎟⎟
                ⎜⎜ ⎟ ⎜                  0      0           0          0 0 1⎟⎟⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜                            ⎟
                           ⎟ ⎜
              ⎜⎜⎜ x 2 ⎟⎟⎟ ⎜⎜                                                   ⎟⎟⎜⎜ x2 ⎟⎟ ⎜ 0             0 ⎟⎟⎟
             ⎜⎜ x ⎟⎟ ⎜⎜− c1 ( I A + I B )                  c2               ⎟⎟⎟⎜⎜ ⎟⎟⎟ ⎜⎜⎜                       ⎟
              ⎜⎜ 3 ⎟⎟ = ⎜⎜                     0        −             0 0 0⎟⎟⎜⎜ x3 ⎟ ⎜ 1                       ⎟⎟⎟⎛ u1 ⎞⎟
                             ⎟ ⎜       I AIB                IB                      ⎟⎜ ⎟⎟ + ⎜              0 ⎟⎟⎜⎜ ⎟⎟.
                  ⎜⎜⎜ x 4 ⎟⎟⎟ ⎜⎜                                                 ⎟⎟⎟⎜⎜ x4 ⎟⎟⎟ ⎜⎜⎜ I A           ⎟⎟⎜⎝u2 ⎠⎟
                                                                                                                 ⎟⎜
                    ⎜⎜ x ⎟⎟ ⎜⎜        c1                  c2                       ⎟⎜ ⎟ ⎜                        ⎟
                 ⎜⎜ 5 ⎟⎟⎟ ⎜⎜                   0                      0 0 0⎟⎟⎟⎜⎜⎜ x5 ⎟⎟ ⎜⎜ 0               0 ⎟⎟
                                                                                             ⎟                    ⎟⎟
           ⎜⎝⎜ x ⎠⎟⎟ ⎜⎜               IB                  IB               ⎟⎟⎟⎜⎜ x ⎟⎟⎟ ⎜⎜⎜               1 ⎟⎟⎟
                         6⎟    ⎜⎜                                                    ⎝     ⎠
                                                                                 ⎟⎟⎜ 6 ⎟ ⎜ 0
                                         c           c2 ( I B + I C )                          ⎜⎜                ⎟
                                ⎜⎜    − 1      0   −                  0 0 0⎟⎟⎟                  ⎜⎝⎜       I C ⎠⎟⎟⎟
                                 ⎜⎝⎜     IB             I B + IC           ⎠⎟⎟    ⎟                              ⎟
                                   ⎜                                         ⎟
      Заметим, что в разобранном примере математическая модель, представ-
ленная системой дифференциальных уравнений (8), адекватна физическому
объекту только в пределах деформаций, удовлетворяющих закону Гука, т.е. ес-
ли фазовые координаты x1 , x2 , x3 достаточно малы по абсолютной величине.
    К дифференциальным уравнениям вида (2) можно прийти и в результате
линеаризации исходных нелинейных дифференциальных уравнений движения
объекта. Опишем процедуру линеаризации.
    Пусть математической моделью управляемого динамического объекта слу-
жит система нелинейных дифференциальных уравнений
                                        y = Y (t , y , v ) , t ∈ [ t0 , T ], y ∈ R n , v ∈ R r .                            (9)

Относительно функции Y : [t 0 , T ] × R n + r → R n предполагается существование не-
прерывных частных производных не ниже второго порядка включительно по
каждому из аргументов.
    Допустим, что некоторой функции                                         v ∗ : [ t0 , T ] → R r       отвечает решение

y ∗ (⋅) = y ∗ (⋅, t 0 , y 0 , v ∗ (⋅)) дифференциального уравнения (9), удовлетворяющее на-

чальному условию y (t0 ) = y0 . Предположим, что именно эта функция y ∗ (⋅) явля-

ется требуемым законом движения для управляемого объекта. Однако при фи-
зической реализации указанного управления v ∗ (⋅) закон движения y (⋅) реального
динамического объекта вследствие ряда факторов (неадекватность математиче-
ской модели, наличие неконтролируемых возмущений, невозможность в точно-
сти удовлетворить начальным условиям и др.) будет отличаться от идеального



                                                                12