Линейные задачи оптимизации. Ч.2. Оптимальное управление линейными динамическими объектами. Лутманов С.В. - 14 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГНИУ | Пермь

Составители: 

Рубрика: 

1. ЛИНЕЙНЫЕ УПРАВЛЯЕМЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ ОБЪЕКТЫ
14
На горизонтальной плоскости, в которой расположен манипулятор, вве-
дем прямолинейную ось
xO
1
. Обозначим через
i
ϕ
угол, образованный i -м звеном
манипулятора,
2,1=i , с осью xO
1
. Запишем дифференциальные уравнения дви-
жения манипулятора в форме уравнений Лагранжа второго рода, в которых в
качестве обобщенных координат берутся углы
2,1,
=
i
i
ϕ
. Кинетическая энергия
манипулятора определяется по формуле
c
TTTT
+
+
=
21
, (13)
где
i
T – кинетическая энергия i -го, 2,1
=
i , звена, а
c
T – кинетическая энергия
схвата манипулятора. Последовательно вычисляем
()
()
2
1
2
111
2
1
2
11
2
11
2
1
2
111
8
4
4
8
1
2
1
1
ϕϕϕϕ
lmI
lmIvmIT
C
+
=+=+=
,
()
()
[]
2121212
2
2
2
22
2
1
2
12
2
22
2
2
2
222
cos444
8
1
2
1
2
ϕϕϕϕϕϕϕϕ
−+++=+=
llmlmlmIvmIT
C
,
()
[
]
212121
2
2
2
2
2
1
2
1
2
cos2
2
1
2
1
ϕϕϕϕϕϕ
−++==
llllmmvT
cc
.
Подставляя найденные величины энергий составных частей манипулятора в
(13), находим
()
[]
()
[
]
() ()
212121222
2
2
2
2121
2
1
2
1
cos2
2
1
44
8
1
444
8
1
ϕϕϕϕϕϕ
−++++++++=
llmmImmlImmmlT .
Введем обозначения
()
[]
()
[
]
()
21222
2
2121
2
1
2
2
1
,44
4
1
,444
4
1
llmmcImmlbImmmla +=++=+++= .
Тогда выражение для кинетической энергии манипулятора принимает вид
()
[]
2
22121
2
1
cos2
2
1
ϕϕϕϕϕϕ
bcaT +−+=
.
Справедливы равенства
() ()()()
212122121
1
2121
1
sincos,cos
ϕϕϕϕϕϕϕϕϕ
ϕ
ϕϕϕϕ
ϕ
−−−−+=
∂
∂
−+=
∂
∂
cca
T
dt
d
ca
T
,
() ()()()
212112112
2
2112
2
sincos,cos
ϕϕϕϕϕϕϕϕϕ
ϕ
ϕϕϕϕ
ϕ
−−−−+=
∂
∂
−+=
∂
∂
ccb
T
dt
d
cb
T
,
() ()
2121
2
2121
1
sin,sin
ϕϕϕϕ
ϕ
ϕϕϕϕ
ϕ
−=
∂
∂
−−=
∂
∂
c
T
c
T
. (14) 
                          1. ЛИНЕЙНЫЕ УПРАВЛЯЕМЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ ОБЪЕКТЫ

     На горизонтальной плоскости, в которой расположен манипулятор, вве-
дем прямолинейную ось O1 x . Обозначим через ϕ i угол, образованный i -м звеном
манипулятора, i = 1,2 , с осью O1 x . Запишем дифференциальные уравнения дви-
жения манипулятора в форме уравнений Лагранжа второго рода, в которых в
качестве обобщенных координат берутся углы ϕ i , i = 1,2 . Кинетическая энергия
манипулятора определяется по формуле
                                                           T = T1 + T2 + Tc ,                                                (13)
где Ti – кинетическая энергия i -го, i = 1,2 , звена, а Tc – кинетическая энергия
схвата манипулятора. Последовательно вычисляем
                                                                              4 I 1 + m1l12 2
                          T1 = (I 1ϕ 1 + m1 v C1 ) = (4 I 1ϕ 1 + m1l1 ϕ 1 ) =
                              1                     1
                                     2        2              2      2 2
                                                                                           ϕ1 ,
                              2                     8                                8

   T2 =
          1
          2
              (                   )1
                                         [
            I 2 ϕ 22 + m 2 v C2 2 = 4 I 2 ϕ 22 + 4 m 2 l 12 ϕ 12 + m 2 l 22 ϕ 22 + 4 m 2 l 1 l 2 ϕ 1ϕ 2 cos (ϕ 1 − ϕ 2 ) ,
                                   8
                                                                                                                            ]

                           Tc =
                                  1
                                  2
                                           1
                                                      [
                                    mv c2 = m l12ϕ 12 + l 22ϕ 22 + 2l1 l 2ϕ 1ϕ 2 cos(ϕ 1 − ϕ 2 ) .
                                           2
                                                                                                      ]
Подставляя найденные величины энергий составных частей манипулятора в
(13), находим
   1
   8
          [                             1
                                        8
                                              ]             [           1
                                                                                    ]
T = ϕ 12 l12 (m1 + 4m 2 + 4m ) + 4 I 1 + ϕ 22 l 22 (m 2 + 4m ) + 4 I 2 + (2m + m 2 )l1 l 2ϕ 1ϕ 2 cos(ϕ 1 − ϕ 2 ) .
                                                                        2
Введем обозначения

          a=
                  4
                   [
                  1 2                                 1
                                                      4
                                                       ]           [                 1
                                                                                           ]
                    l1 (m1 + 4m 2 + 4m ) + 4 I 1 , b = l 22 (m 2 + 4m ) + 4 I 2 , c = (2m + m 2 ) l1l 2 .
                                                                                     2
Тогда выражение для кинетической энергии манипулятора принимает вид

                                      T=
                                             1
                                             2
                                               [
                                               aϕ 12 + 2cϕ 1ϕ 2 cos(ϕ 1 − ϕ 2 ) + bϕ 22 .      ]
Справедливы равенства
  ∂T                                           d ∂T
       = aϕ 1 + cϕ 2 cos(ϕ 1 − ϕ 2 ),                  = aϕ 1 + cϕ 2 cos(ϕ 1 − ϕ 2 ) − cϕ 2 (ϕ 1 − ϕ 2 ) sin(ϕ 1 − ϕ 2 ) ,
  ∂ϕ 1                                         dt ∂ϕ 1

   ∂T                                              d ∂T
        = bϕ 2 + cϕ 1 cos(ϕ 1 − ϕ 2 ),                     = bϕ 2 + cϕ 1 cos(ϕ 1 − ϕ 2 ) − cϕ 1 (ϕ 1 − ϕ 2 ) sin (ϕ 1 − ϕ 2 ) ,
   ∂ϕ 2                                            dt ∂ϕ 2

                            ∂T                                          ∂T
                                 = −cϕ 1ϕ 2 sin(ϕ 1 − ϕ 2 ),                 = cϕ 1ϕ 2 sin(ϕ 1 − ϕ 2 ) .                     (14)
                            ∂ϕ 1                                        ∂ϕ 2


                                                                   14

Страницы