Линейные задачи оптимизации. Ч.2. Оптимальное управление линейными динамическими объектами. Лутманов С.В. - 15 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГНИУ | Пермь

Составители: 

Рубрика: 

1. ЛИНЕЙНЫЕ УПРАВЛЯЕМЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ ОБЪЕКТЫ
15
Обобщенной силой
i
Q , отвечающей обобщенной координате
i
ϕ
, является
управляющий вращательный момент
,1,2
i
vi= .
Используя формулы (14), выпишем уравнения Лагранжа
2,1, ==
∂
∂
−
∂
∂
iQ
TT
dt
d
i
ii
ϕϕ
.
В результате получим
(
)
(
)
2
12 12 2 121
cos sinac c vϕϕ ϕϕ ϕ ϕϕ+ − + − =
 
,
(
)
(
)
2
112 21122
cos sincbc vϕϕϕϕϕϕϕ− + −−=
 
. (15)
Разрешим дифференциальные уравнения (15) относительно старших произ-
водных
(
)
(
)
(
)
(
)
222
12122121 12
1
22
12
22sin 2cos sin2
1
2cos
bv bc cv c
ab c
ϕϕϕ ϕϕ ϕ ϕϕ
ϕ
ϕϕ
⎡⎤
−−−−− −
⎣⎦
= ⋅
−−


,
(
)
(
)
(
)
(
)
222
2 1 12 1 12 2 12
2
22
12
22sin 2cos sin2
1
2cos
av ac cv c
ab c
ϕϕϕ ϕϕ ϕ ϕϕ
ϕ
ϕϕ
⎡⎤
+ −− −+ −
⎣⎦
= ⋅
−−


.
Полученную систему двух дифференциальных уравнений второго порядка от-
носительно переменных
21
,
ϕ
ϕ
заменой переменных
11223142
,,,yy yyϕϕϕϕ====

сведем к системе четырех дифференциальных уравнений первого порядка
13
yy=
,
24
yy=
,
(
)
(
)
(
)
(
)
222
14122123 12
3
22
12
22sin 2cos sin2
1
2cos
bv bcy y y cv y y c y y y
y
ab c y y
⎡⎤
−−−−− −
⎣⎦
= ⋅
−−
,
() () ()
()
222
2 3 12 1 12 4 12
4
22
12
22sin 2cos sin2
1
2cos
av acy y y cv y y c y y y
y
ab c y y
⎡⎤
+ −− −+ −
⎣⎦
= ⋅
−−
(16)
относительно переменных
1234
,,,yyyy.
Проведем линеаризацию дифференциальных уравнений (16) в окрестности
пары 
                    1. ЛИНЕЙНЫЕ УПРАВЛЯЕМЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ ОБЪЕКТЫ

     Обобщенной силой Qi , отвечающей обобщенной координате ϕ i , является
управляющий вращательный момент vi , i = 1, 2 .
     Используя формулы (14), выпишем уравнения Лагранжа
                                       d ∂T     ∂T
                                              −     = Qi , i = 1,2 .
                                       dt ∂ϕ i ∂ϕ i

В результате получим
                            aϕ1 + cϕ2 cos (ϕ1 − ϕ2 ) + cϕ 22 sin (ϕ1 − ϕ2 ) = v1 ,

                           cϕ1 cos (ϕ1 − ϕ2 ) + bϕ2 − cϕ 12 sin (ϕ1 − ϕ2 ) = v2 .                   (15)

Разрешим дифференциальные уравнения (15) относительно старших произ-
водных
                1 2bv1 − 2bcϕ 2 sin (ϕ1 − ϕ2 ) − 2cv2 cos (ϕ1 − ϕ2 ) − c ϕ 1 sin ⎡⎣ 2 (ϕ1 − ϕ2 )⎤⎦
                               2                                         2 2

          ϕ1 = ⋅                                                                                   ,
                2                           ab − c 2 cos2 (ϕ1 − ϕ2 )



              1 2av2 + 2acϕ 1 sin (ϕ1 − ϕ2 ) − 2cv1 cos (ϕ1 − ϕ2 ) + c ϕ 2 sin ⎡⎣ 2 (ϕ1 − ϕ2 )⎤⎦
                             2                                         2 2

          ϕ2 = ⋅
                                                                                                 .
              2                           ab − c 2 cos2 (ϕ1 − ϕ2 )

Полученную систему двух дифференциальных уравнений второго порядка от-
носительно переменных ϕ 1 , ϕ 2 заменой переменных
                                   y1 = ϕ1 , y2 = ϕ2 , y3 = ϕ 1 , y4 = ϕ 2

сведем к системе четырех дифференциальных уравнений первого порядка
                                                    y 1 = y3 ,

                                                    y 2 = y4 ,

                 1 2bv1 − 2bcy4 sin ( y1 − y2 ) − 2cv2 cos ( y1 − y2 ) − c y3 sin ⎡⎣ 2 ( y1 − y2 )⎤⎦
                              2                                           2 2

           y 3 = ⋅                                                                                  ,
                 2                          ab − c 2 cos2 ( y1 − y2 )

                1 2av2 + 2acy3 sin ( y1 − y2 ) − 2cv1 cos ( y1 − y2 ) + c y4 sin ⎡⎣ 2 ( y1 − y2 )⎤⎦
                             2                                           2 2

          y 4 = ⋅                                                                                       (16)
                2                         ab − c 2 cos 2 ( y1 − y2 )

относительно переменных y1 , y2 , y3 , y4 .
Проведем линеаризацию дифференциальных уравнений (16) в окрестности
пары



                                                       15

Страницы