Линейные задачи оптимизации. Ч.2. Оптимальное управление линейными динамическими объектами. Лутманов С.В. - 16 стр.

                   1. ЛИНЕЙНЫЕ УПРАВЛЯЕМЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ ОБЪЕКТЫ

                                                                                   ⎛0⎞⎟
                                                                                   ⎜⎜ ⎟
                                                             ⎛0⎞                    ⎜⎜0⎟⎟
                                                  v ∗ (t ) ≡ ⎜⎜ ⎟⎟⎟ ,   y ∗ (t ) = ⎜⎜ ⎟⎟⎟ .
                                                              ⎜⎝0⎠⎟                  ⎜⎜0⎟⎟
                                                                                      ⎜⎜ ⎟⎟⎟
                                                                                       ⎝⎜0⎠⎟

      По формулам (10) находим
                                       ⎛0           0     1     0⎞⎟         ⎛ 0                   0    ⎞⎟
                                       ⎜⎜                         ⎟⎟        ⎜⎜                          ⎟⎟
                                        ⎜⎜0         0     0     1⎟⎟          ⎜⎜ 0                 0      ⎟⎟
                                  A = ⎜⎜                           ⎟⎟ , B = ⎜⎜ b                 −c ⎟
                                                                                                          ⎟.
                                         ⎜⎜0        0     0     0⎟⎟           ⎜⎜ 2                        ⎟
                                                                                                ab−c 2 ⎟  ⎟⎟
                                          ⎜⎜                        ⎟⎟         ⎜⎜ ab−c
                                                                     ⎟                            a ⎟
                                           ⎜⎝⎜0     0     0     0⎠              ⎜⎜⎝ −c 2
                                                                                  ab−c          ab−c 2 ⎠
                                                                                                           ⎟⎟

      Таким образом, линеаризованные уравнения здесь имеют вид
                                 ⎛ x1 ⎞⎟ ⎛0       0     1    0⎞⎟⎛⎜ x1 ⎞⎟ ⎛⎜ 0                   0    ⎞⎟
                               ⎜⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜⎜                        ⎟⎜ ⎟ ⎜                                 ⎟⎟⎟⎛ ⎞
                                ⎜ x 2 ⎟⎟ ⎜0       0     0    1⎟⎟⎟⎜⎜ x2 ⎟⎟⎟ ⎜⎜⎜ 0                0       ⎟⎟⎜ u1 ⎟
                             ⎜⎜⎜ x ⎟⎟⎟ = ⎜⎜⎜0                   ⎟⎜ ⎟ + ⎜ b
                                                              0⎟⎟⎟⎜⎜⎜ x3 ⎟⎟⎟ ⎜⎜ ab−c2
                                                                                                          ⎟⎜ ⎟ .
                                                                                                        ⎟⎜⎝u2 ⎟⎟⎠
                                                                                                −c ⎟
                          ⎜⎜ 3 ⎟⎟ ⎜⎜               0     0                                     ab−c 2 ⎟
                                                                ⎟⎟⎜ ⎟⎟ ⎜                               ⎟
                           ⎜⎝⎜ x ⎠⎟⎟⎟ ⎜⎝⎜0        0     0    0⎠⎟⎟⎝⎜⎜ x4 ⎠⎟⎟ ⎜⎜⎝ −c 2            a ⎟
                                                                                                       ⎟⎟
                                     4                                           ab−c          ab−c 2 ⎠


      1.2. Системы однородных линейных дифференциальных уравнений
      Системе дифференциальных уравнений (1.1) поставим в соответствие од-
нородную систему уравнений
                                           x1 = a11 (t ) x1 + " + a1n (t ) xn ,
                                          ..............................................
                                           x n = an1 (t ) x1 + " + ann (t ) xn .

или ее векторно-матричный аналог
                                                              x = A(t ) x .                                        (1)
      Установим некоторые простейшие свойства дифференциального уравне-
ния (1).
      Свойство 1. Пусть x (⋅) - решение дифференциального уравнения (1) и

x (t0 ) = 0 для некоторого значения t0 ∈ R1 . Тогда x (t ) ≡ 0, t ∈ R1 .

      Доказательство. Справедливость свойства следует непосредственно из
теоремы существования и единственности решения дифференциальных урав-
нений.
      Свойство 2. Пусть x(1) (⋅),", x(s) (⋅) - система решений уравнения (1). Тогда

для всех α1 ,", αs ∈ R1 выражение

                                                                   16