Линейные задачи оптимизации. Ч.2. Оптимальное управление линейными динамическими объектами. Лутманов С.В. - 17 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГНИУ | Пермь

Составители: 

Рубрика: 

1. ЛИНЕЙНЫЕ УПРАВЛЯЕМЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ ОБЪЕКТЫ
17
()
()
()
1
ˆ
s
i
i
i
xxα
=
⋅ = ⋅
∑
будет также решением дифференциального уравнения (1).
Доказательство. Действительно,
(
)
()
()
()
() ()
()
() ()
()
() () ()
111 1
ˆ
ˆ
.
sss s
ii i i
iii i
iii i
dx t
d
x
t x t Atx t At x t Atxt
dt dt
ααα α
=== =
⎛⎞ ⎛⎞
⎟⎟
⎜⎜
==== =
⎟⎟
⎜⎜
⎟⎟
⎟⎟
⎜⎜
⎝⎠ ⎝⎠
∑∑∑ ∑
Определение 1. Система решений
(
)
(
)
(
)
(
)
1
,,
s
xx⋅⋅" уравнения (1) называет-
ся линейно зависимой, если существуют такие константы
1
1
,,
s
R
αα∈" , не об-
ращающиеся одновременно в нуль, что
()
()
1
1
0,
s
i
i
i
x
ttRα
=
≡∈
∑
.
В противном случае система решений
(
)
(
)
(
)
(
)
1
,,
s
xx⋅⋅" называется линейно
независимой.
Заметим, что для зависимой системы решений
(
)
(
)
(
)
(
)
1
,,
s
xx⋅⋅" набор векто-
ров
(
)
(
)
(
)
(
)
1
,,
s
x
txt"
является линейно зависимым при всех
1
tR∈ . Это утвержде-
ние может быть обращено следующим образом.
Лемма 1. Пусть для некоторого значения
1
0
tR∈ набор векторов
(
)
(
)
(
)
(
)
1
00
,,
s
x
txt"
линейно зависим. Тогда система решений
(
)
(
)
(
)
(
)
1
,,
s
xx⋅⋅"
уравне-
ния (1) является линейно зависимой.
Доказательство. Из линейной зависимости векторов
(
)
(
)
(
)
(
)
1
00
,,
s
txt" сле-
дует существование ненулевого набора констант
1
1
,,
s
R
αα∈"
, для которого
()
()
0
1
0
s
i
i
i
xtα
=
=
∑
. (2)
Полагаем
()
()
()
1
ˆ
s
i
i
i
xxα
=
⋅ = ⋅
∑
.
По свойству 2 функция
()
ˆ
x
⋅
является решением уравнения (1), при этом в силу
(2) справедливо равенство
(
)
0
ˆ
0
xt = . Тогда по свойству 1 должно выполняться 
                        1. ЛИНЕЙНЫЕ УПРАВЛЯЕМЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ ОБЪЕКТЫ
                                                                         s
                                                      xˆ (⋅) = ∑ αi x( ) (⋅)
                                                                      i

                                                                       i =1


будет также решением дифференциального уравнения (1).
       Доказательство. Действительно,
     dxˆ (t ) d ⎛⎜ s           ⎞    s                    s                         ⎛ s             ⎞
             = ⎜ ∑ αi x( ) (t )⎟⎟ = ∑ αi x ( ) (t ) = ∑ αi A(t ) x( ) (t ) = A(t )⎜⎜∑ αi x( ) (t )⎟⎟ = A(t ) xˆ (t ).
                        i                    i                      i                       i

       dt     dt ⎜⎝ i=1        ⎠⎟ i=1                  i =1                        ⎝⎜ i=1          ⎠⎟

       Определение 1. Система решений x(1) (⋅),", x(s) (⋅) уравнения (1) называет-

ся линейно зависимой, если существуют такие константы α1 ,", αs ∈ R1 , не об-
ращающиеся одновременно в нуль, что
                                                s

                                               ∑ α x( ) (t ) ≡ 0, t ∈ R .
                                               i =1
                                                        i
                                                               i                     1




       В противном случае система решений x(1) (⋅),", x(s) (⋅) называется линейно

независимой.
       Заметим, что для зависимой системы решений x(1) (⋅),", x(s) (⋅) набор векто-

ров x(1) (t ) ,", x(s) (t ) является линейно зависимым при всех t ∈ R1 . Это утвержде-

ние может быть обращено следующим образом.
       Лемма 1. Пусть для некоторого значения t0 ∈ R1 набор векторов

x( ) (t0 ) ,", x( ) (t0 ) линейно зависим. Тогда система решений x( ) (⋅) ,", x( ) (⋅) уравне-
 1             s                                                                             1           s



ния (1) является линейно зависимой.
       Доказательство. Из линейной зависимости векторов x(1) (t0 ),", x(s) (t0 ) сле-

дует существование ненулевого набора констант α1 ,", αs ∈ R1 , для которого
                                                         s

                                                       ∑ α x( ) (t ) = 0 .
                                                        i =1
                                                                   i
                                                                             i
                                                                                 0                                       (2)

Полагаем
                                                                        s
                                                    xˆ (⋅) = ∑ αi x( ) (⋅) .
                                                                    i

                                                                       i =1


По свойству 2 функция x̂ (⋅) является решением уравнения (1), при этом в силу

(2) справедливо равенство xˆ (t0 ) = 0 . Тогда по свойству 1 должно выполняться



                                                                        17

Страницы