Линейные задачи оптимизации. Ч.2. Оптимальное управление линейными динамическими объектами. Лутманов С.В. - 19 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГНИУ | Пермь

Составители: 

Рубрика: 

1. ЛИНЕЙНЫЕ УПРАВЛЯЕМЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ ОБЪЕКТЫ
19
Определение 2. Линейно независимая система решений
(
)
(
)
(
)
(
)
1
,,
n
xx⋅⋅"
(3)
дифференциального уравнения (1), где
n - размерность вектора
x
, называется
фундаментальной системой решений дифференциального уравнения (1).
Теорема 2. Для уравнения (1) существует фундаментальная система
решений, и любое решение этого уравнения может быть представлено как ли-
нейная комбинация решений, составляющих фундаментальную систему.
Доказательство. Пусть набор векторов
1
,,
n
n
eeR∈"
образует базис в
n
R
. Определим систему решений (3) условиями
(
)
(
)
0
,1,,
i
i
x
tei n==" .
По теореме 1 из линейной независимости векторов
(
)
(
)
(
)
(
)
1
00
,,
n
x
txt"
вытекает
линейная независимость системы решений (3). Таким образом, существование
фундаментальной системы решений для уравнения (1) установлено.
Покажем, что каждое решение
()
x
⋅ уравнения (1) можно представить в
виде
()
()
()
1
1
,
n
i
i
i
x
txttRα
=
= ∈
∑
.
Набор векторов
(
)
(
)
(
)
(
)
1
00
,,
n
x
txt" является базисом в
n
. Тогда для любого реше-
ния
(
)
x
⋅ уравнения (1) найдется набор констант
1
1
,,
n
R
αα∈"
такой, что
()
()
()
00
1
n
i
i
i
x
txtα
=
=
∑
.
Решения
()
x
⋅ и
()
()
1
n
i
i
i
xα
=
⋅
∑
имеют общее начальное условие и потому совпадают.
Теорема доказана.
Пример 4*. Рассмотрим однородную линейную систему дифференциаль-
ных уравнений третьего порядка
11 23
2123
3123
4,
,
24 .
x
xxx
xxxx
x
xxx
=+ +
=++
= − +
(4) 
                   1. ЛИНЕЙНЫЕ УПРАВЛЯЕМЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ ОБЪЕКТЫ

       Определение 2. Линейно независимая система решений
                                         x( ) (⋅) ,", x( ) (⋅)                      (3)
                                            1                   n



дифференциального уравнения (1), где n - размерность вектора x , называется
фундаментальной системой решений дифференциального уравнения (1).
       Теорема 2. Для уравнения (1) существует фундаментальная система
решений, и любое решение этого уравнения может быть представлено как ли-
нейная комбинация решений, составляющих фундаментальную систему.
       Доказательство. Пусть набор векторов
                                        e1 ,", en ∈ R n

образует базис в R n . Определим систему решений (3) условиями
                                  x( ) (t0 ) = ei , i = 1,", n .
                                    i




По теореме 1 из линейной независимости векторов x(1) (t0 ),", x(n) (t0 ) вытекает

линейная независимость системы решений (3). Таким образом, существование
фундаментальной системы решений для уравнения (1) установлено.
       Покажем, что каждое решение x (⋅) уравнения (1) можно представить в

виде
                                           n
                                 x (t ) = ∑ αi x( ) (t ), t ∈ R1 .
                                                        i

                                          i =1


Набор векторов x(1) (t0 ),", x(n) (t0 ) является базисом в R n . Тогда для любого реше-

ния x (⋅) уравнения (1) найдется набор констант α1 ,", αn ∈ R1 такой, что
                                                  n
                                    x (t0 ) = ∑ αi x( ) (t0 ) .
                                                            i

                                                 i =1

                   n
Решения x (⋅) и   ∑ α x( ) (⋅) имеют общее начальное условие и потому совпадают.
                  i =1
                         i
                             i




Теорема доказана.
       Пример 4*. Рассмотрим однородную линейную систему дифференциаль-
ных уравнений третьего порядка
                                  x1 = x1 + 4 x2 + x3 ,
                                  x 2 = x1 + x2 + x3 ,                             (4)
                                  x 3 = 2 x1 − 4 x2 + x3.

                                                  19

Страницы