Линейные задачи оптимизации. Ч.2. Оптимальное управление линейными динамическими объектами. Лутманов С.В. - 20 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГНИУ | Пермь

Составители: 

Рубрика: 

1. ЛИНЕЙНЫЕ УПРАВЛЯЕМЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ ОБЪЕКТЫ
20
Приведем векторно-матричную форму записи этой системы
11
22
33
141
111
241
x
x
x
x
x
x
⎛⎞⎛ ⎞⎛⎞
⎟⎟⎟
⎜⎜ ⎜
⎟⎟⎟
⎜⎜ ⎜
⎟⎟⎟
⎜⎜ ⎜
⎟⎟⎟
=
⎜⎜ ⎜
⎟⎟⎟
⎜⎜ ⎜
⎟⎟⎟
⎟⎟⎟
⎜⎜ ⎜
⎟⎟⎟
⎜⎜ ⎜
⎟⎟⎟
⎜⎜ ⎜
−
⎝⎠⎝ ⎠⎝⎠
.
Покажем, что следующая система решений этого уравнения
()
()
()
()
()
()
3
12 3
3 1
27cossin3cossin
, cos 2sin , sin ,
0 10cos 4cos 2sin
t
t
etttt
x
text t txt t tR
ttt
⎛⎞
⎛⎞⎛ ⎞
+ −
⎟
⎜
⎟⎟
⎜⎜
⎟
⎟⎟
⎜
⎜⎜
⎟
⎟⎟
⎜
⎜⎜
⎟
⎟⎟
==− = −∈
⎜
⎟
⎜⎜
⎟⎟
⎜
⎟
⎜⎜
⎟⎟
⎟
⎜
⎟⎟
⎜⎜
⎟
⎜
⎟⎟
⎜⎜
⎟⎟
⎜⎜
⎟
⎜− −+
⎝⎠⎝ ⎠
⎟
⎝⎠
образует фундаментальную систему решений.
Сначала непосредственно проверяем, что каждый член системы
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
123
,,xxx⋅⋅⋅ является решением уравнений (2). Далее составим определи-
тель
()
3
3
27cossin 3cossin
cos 2sin sin
010cos4cos2sin
t
t
ett tt
Dt e t t t
ttt
+ −
= −−
−−+
.
Вычислим его значение при
0t = . Имеем
()
27 3
011 0 100
0104
D ==−≠
−−
.
Таким образом,
()
00D ≠ и набор векторов
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
123
0, 0, 0xxx является линейно
независимым. Тогда по теореме 1 система решений
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
123
,,xxx⋅⋅⋅ уравнений
(2) является фундаментальной системой решений.
1.3. Фундаментальная матрица Коши. Пусть
()
()
()
(
)
()
(
)
()
()
()
(
)
()
(
)
1
11
1
1
,,
n
n
n
nn
xx
xx
xx
⎛⎞ ⎛⎞
⋅⋅
⎟⎟
⎜⎜
⎟⎟
⎜⎜
⎟⎟
⎜⎜
⎟⎟
⎜⎜
⎟⎟
⋅ = ⋅ =
⎜⎜
⎟⎟
⎟⎟
⎜⎜
⎟⎟
⎜⎜
⎟⎟
⎜⎜
⎟⎟
⎜⎜
⋅⋅
⎟⎟
⎝⎠ ⎝⎠
"" "
фундаментальная система решений однородного дифференциального уравне-
ния (2.1). Для всех
1
tR∈ построим квадратную матрицу
(
)
Z
t
следующего вида
()
()
(
)
()
(
)
()
(
)
()
(
)
1
11
1
n
n
nn
txt
Zt
txt
⎛⎞
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
=
⎜
⎟
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝⎠
"
"""
"
. 
                     1. ЛИНЕЙНЫЕ УПРАВЛЯЕМЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ ОБЪЕКТЫ

       Приведем векторно-матричную форму записи этой системы
                                             ⎛ x1 ⎞⎟ ⎛1 4 1⎞⎛     ⎟⎟⎜⎜ x1 ⎞⎟⎟
                                             ⎜⎜ ⎟ ⎜⎜
                                              ⎜⎜ x 2 ⎟ = ⎜⎜1 1 1⎟⎟⎜⎜ x2 ⎟⎟ .
                                                         ⎟
                                               ⎜⎜ ⎟⎟⎟ ⎜⎜            ⎟⎟⎜ ⎟⎟
                                                                     ⎟⎟⎜⎜ x ⎟⎟
                                                ⎝⎜ x 3 ⎠⎟ ⎝⎜2 −4 1⎠⎝      3⎠


Покажем, что следующая система решений этого уравнения
                     ⎛2e3t ⎞⎟          ⎛7 cos t + sin t ⎞⎟             ⎛ 3cos t − sin t ⎞⎟
                     ⎜⎜      ⎟ ( 2)    ⎜⎜                ⎟⎟ (3)         ⎜⎜                  ⎟⎟
                      ⎜   3t ⎟
            x (t ) = ⎜ e ⎟⎟ , x (t ) = ⎜⎜ cos t − 2sin t ⎟⎟ , x (t ) = ⎜⎜
             (1)
                                                                             − sin t         ⎟⎟ , t ∈ R1
                       ⎜⎜    ⎟⎟          ⎜⎜               ⎟⎟             ⎜⎜
                      ⎜⎝ 0 ⎠⎟⎟                                                                ⎟⎟
                                        ⎝⎜ −10cos t ⎠⎟                 ⎝⎜−4 cos t + 2sin t ⎠⎟

образует фундаментальную систему решений.
       Сначала непосредственно проверяем, что каждый член системы
x( ) (⋅) , x( ) (⋅) , x( ) (⋅) является решением уравнений (2). Далее составим определи-
 1      2     3



тель
                                       2 e 3t    7 cos t + sin t        3cos t − sin t
                             D ( t ) = e 3t      cos t − 2sin t           − sin t        .
                                         0           −10cos t        −4 cos t + 2sin t

Вычислим его значение при t = 0 . Имеем
                                                 2      7        3
                                     D ( 0) = 1  1   0 = −10 ≠ 0 .
                                              0 −10 −4

Таким образом, D (0) ≠ 0 и набор векторов x(1) (0), x(2) (0), x(3) (0) является линейно

независимым. Тогда по теореме 1 система решений x(1) (⋅) , x(2) (⋅), x(3) (⋅) уравнений

(2) является фундаментальной системой решений.
       1.3. Фундаментальная матрица Коши. Пусть
                                                ⎛ (1) ⎞        ⎛ x(n) (⋅)⎞⎟
                                              ⎜⎜ x1 (⋅)⎟⎟        ⎜⎜ 1     ⎟⎟
                                               ⎜⎜       ⎟⎟        ⎜⎜
                                    x (⋅) = ⎜ " ⎟⎟ ,", x (⋅) = ⎜ " ⎟⎟⎟
                                     (1)                   (n)
                                             ⎜⎜ 1 ⎟⎟            ⎜⎜ n ⎟⎟
                                            ⎝⎜ xn (⋅)⎠⎟⎟       ⎝⎜ xn (⋅)⎠⎟⎟
                                                  ()                 ( )



фундаментальная система решений однородного дифференциального уравне-
ния (2.1). Для всех t ∈ R1 построим квадратную матрицу Z (t ) следующего вида
                                                  ⎛ x(1) (t ) " x(n) (t )⎞⎟
                                                  ⎜⎜ 1               1         ⎟⎟
                                                   ⎜
                                         Z (t ) = ⎜⎜ "            "    " ⎟⎟⎟ .
                                                   ⎜⎜ 1                         ⎟⎟
                                                    ⎜⎝ xn( ) (t ) " xn(n) (t )⎠⎟⎟

                                                            20

Страницы