Линейные задачи оптимизации. Ч.2. Оптимальное управление линейными динамическими объектами. Лутманов С.В. - 21 стр.

                          1. ЛИНЕЙНЫЕ УПРАВЛЯЕМЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ ОБЪЕКТЫ

Из теоремы 1 следует, что матрица Z (t ) является невырожденной при всех
t ∈ R1 и, следовательно, для всех t ∈ R1 существует обратная матрица

                                                         ⎛ ζ 1(1) ( t )            ζ 1( n ) ( t ) ⎞
                                                         ⎜                                       ⎟
                                            Z −1 ( t ) = ⎜                                       ⎟.
                                                         ⎜⎜ (1)                                  ⎟
                                                          ⎝ ζ n (t )               ζ n( ) ( t ) ⎟⎠
                                                                                       n



Полагаем
                                                         ⎛ x(1) [ t , τ ] " x(n) [ t , τ ]⎞⎟
                                                         ⎜⎜ 1                    1               ⎟⎟
                                                          ⎜
                          X [ t , τ ] = Z (t ) Z (τ ) = ⎜⎜ "
                                                −1
                                                                              "     " ⎟⎟⎟ , t , τ ∈ R1 .
                                                          ⎜⎜ 1                                    ⎟⎟
                                                           ⎜⎝ xn( ) [ t , τ ] " xn(n) [ t , τ ]⎠⎟⎟

    Определение 3. Матрица X [ t , τ ] , t , τ ∈ R1 называется фундаментальной

матрицей Коши для однородного дифференциального уравнения (2.1).
    Установим ряд свойств фундаментальной матрицы Коши.
        Теорема 3. Для всех t , τ , s ∈ R1 имеют место равенства
                                                                   ⎛ 1 " 0 ⎞⎟
                                                                   ⎜⎜        ⎟
                                                X [ s, s ] = E = ⎜⎜" " "⎟⎟⎟ , .                               (1)
                                                                 ⎜⎜         ⎟⎟
                                                                  ⎝⎜ 0 " 1 ⎠⎟
                                                                    −1
                                                      ( X [t, τ ])        = X [ τ , t ],                      (2)
                                                   d
                                                      X [ t , τ ] = A(t ) X [ t , τ ] ,                       (3)
                                                   dt
                                                d
                                                   X [ t , τ ] = − X [ t , τ ] A ( τ ).                       (4)
                                                dτ
        Доказательство. Равенство (1) является простым следствием опреде-
ления 3. Докажем равенство (2). Имеем
                                                   −1                         −1
                           = ( Z (t ) Z −1 (τ )) = ( Z −1 (τ )) Z −1 (τ ) = Z (τ ) Z −1 (t ) = X [τ , t ] .
                      −1
          ( X [t , τ ])
Для вывода равенства (3) замечаем, что
                                                      n
                                    xi( ) [ t , τ ] = ∑ xi( ) (t ) ζ s( ) (τ ) , i, j = 1,", n .
                                       j                     s            j

                                                     s=1


Тогда
                                                   ⎛ x( j) [ t , τ ]⎞⎟                 ⎛ x(s) (t )⎞⎟
                                                   ⎜⎜ 1                   ⎟⎟   n
                                                                                        ⎜⎜ i       ⎟⎟
                                                    ⎜⎜                                   ⎜
                                     x [ t , τ ] = ⎜ " ⎟⎟ = ∑ ζ s (τ )⎜⎜ " ⎟⎟⎟ .
                                      ( j)                                 ⎟      ( j)
                                                     ⎜⎜ j                  ⎟⎟ s=1        ⎜⎜ s ⎟⎟
                                                      ⎜⎝ xn( ) [ t , τ ]⎠⎟⎟            ⎝⎜ xi (t )⎠⎟⎟
                                                                                            ()



                                                                     21