Линейные задачи оптимизации. Ч.2. Оптимальное управление линейными динамическими объектами. Лутманов С.В. - 22 стр.

                    1. ЛИНЕЙНЫЕ УПРАВЛЯЕМЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ ОБЪЕКТЫ

Таким образом, столбцы матрицы X [t ,τ ], t ,τ ∈ [t 0 , T ] являются линейными ком-
бинациями столбцов матрицы Z (t ) и поэтому представляют собой решения
уравнения (2.1). Последнее означает, что
               d (i)                                               d
                  x [ t , τ ] = A(t ) x( ) [ t , τ ] , i = 1,", n ⇒ X [ t , τ ] = A(t ) X [ t , τ ] .
                                        i
                                                                                                        (5)
               dt                                                  dt
Для вывода равенства (4) продифференцируем по переменной τ очевидное
тождество X [t ,τ ] X [τ , t ] = E . Имеем
                               ⎛ d           ⎞                        d
                               ⎜    X [t ,τ ]⎟ X [τ , t ] + X [t ,τ ]    X [τ , t ] = 0 .
                               ⎝ dτ          ⎠                        dτ

Перепишем последнее равенство с учетом (5):
                                  ⎛ d           ⎞
                                  ⎜    X [t ,τ ]⎟ X [τ , t ] = − X [t ,τ ]A(τ ) X [τ , t ] .            (6)
                                  ⎝ dτ          ⎠

Умножим равенство (6) на матрицу X −1 [τ , t ] справа. В результате получим искомое
равенство (4) Теорема доказана.
       Равенству (4) в доказанной теореме можно дать следующую трактовку:
                 d                                       d −1
                    X [ t , τ ] = − X [ t , τ ] A (τ ) ⇒    X [ τ , t ] = − X −1 [ τ , t ] A ( τ ) ⇒
                 dτ                                      dτ
                                d
                                   { X −1 [τ , t ]} = − ATр (τ ){ X −1 [τ , t ]} .
                                                   Tр                           Tр

                                dτ

Таким образом, матрица { X −1 [t , τ ]} является фундаментальной матрицей Коши
                                                  T




для линейной однородной системы дифференциальных уравнений
                                                  dψ
                                                      = − ATр ( t )ψ .                                  (7)
                                                   dt
В дальнейшем систему (7) будем называть сопряженной системой дифференци-
альных уравнений по отношению к системе (2.1).
     Укажем один способ построения фундаментальной матрицы Коши для
случая, когда известна фундаментальная система решений x(1) ( ⋅) , , x( n ) ( ⋅) диф-

ференциального уравнения (2.1), не связанный с вычислением обратной матри-
цы для матрицы

                                                      (
                                          Z ( ⋅) = x ( ) ( ⋅) ,
                                                          1
                                                                   , x(
                                                                          n)
                                                                               ( ⋅) ) .


                                                              22