Линейные задачи оптимизации. Ч.2. Оптимальное управление линейными динамическими объектами. Лутманов С.В. - 24 стр.

                               1. ЛИНЕЙНЫЕ УПРАВЛЯЕМЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ ОБЪЕКТЫ

                                          ⎛ c1( i ) x1(1) ( t − τ ) + + cn( i ) x1( n ) ( t − τ ) ⎞
                                          ⎜                                                       ⎟
                         x ( ) [ t ,τ ] = ⎜                                                       ⎟ , t ,τ ∈ [t0 , T ] , i = 1,              ,n .                (9)
                            i
                                                         ................................
                                          ⎜⎜ ( i ) (1)                                            ⎟⎟
                                           ⎝ c1 x1 ( t − τ ) + + cn x1 ( t − τ ) ⎠
                                                                                (i ) ( n)


        Пример 5*. Требуется построить фундаментальную матрицу Коши для
однородного дифференциального уравнения из примера 4 и проверить для нее
выполнение равенств (1)-(4).
        Выше было показано, что система решений
                          ⎛2e3t ⎞⎟          ⎛7 cos t + sin t ⎞⎟             ⎛ 3cos t − sin t ⎞⎟
                          ⎜⎜      ⎟ ( 2)    ⎜⎜                ⎟⎟ (3)         ⎜⎜                  ⎟⎟
                           ⎜   3t ⎟
                 x (t ) = ⎜ e ⎟⎟ , x (t ) = ⎜⎜ cos t − 2sin t ⎟⎟ , x (t ) = ⎜⎜
                  (1)
                                                                                  − sin t         ⎟⎟ , t ∈ R1
                            ⎜⎜    ⎟⎟          ⎜⎜               ⎟⎟             ⎜⎜                   ⎟⎟
                           ⎝⎜ 0 ⎠⎟⎟          ⎝⎜ −10cos t ⎠⎟                 ⎝⎜−4 cos t + 2sin t ⎠⎟

этого уравнения является фундаментальной. Построим фундаментальную
матрицу Коши непосредственно следуя ее определению. Имеем
                                                                                                                                                           −1
               ⎛2e3t         7 cos t + sin t  3cos t − sin t ⎞⎟ ⎛⎜2e3τ                     7 cos τ + sin τ  3cos τ − sin τ ⎞⎟
                 ⎜⎜                                             ⎟⎟ ⎜ 3τ                                                       ⎟⎟
  X [t , τ ] = ⎜⎜⎜ e3t       cos t − 2sin t      − sin t         ⎟⎟⋅ ⎜⎜ e                  cos τ − 2sin τ       − sin τ        ⎟⎟ =
                ⎜⎜                                                ⎟⎟ ⎜⎜                                                         ⎟⎟
                  ⎜⎝ 0         −10 cos t     −4 cos t + 2sin t ⎠⎟⎟ ⎝⎜⎜ 0                     −10 cos τ     −4 cos τ + 2sin τ ⎠⎟⎟

         ⎛ 4 e3(t−τ ) + 1 cos (t − τ ) −                2
                                                            e(
                                                             3 t −τ )
                                                                        − 52 cos (t − τ ) +        3
                                                                                                       e(
                                                                                                       3 t −τ )
                                                                                                               − 53 cos (t − τ ) − ⎞⎟
                        ⎜⎜ 5        5                   5                                          5                                ⎟⎟
                         ⎜⎜ 7                                                                                                        ⎟⎟
                      ⎜⎜− 5 sin (t − τ )                + 145 sin (t − τ )                        − 5 sin (t − τ )
                                                                                                     4
                                                                                                                                      ⎟⎟
                       ⎜⎜                                                                                                              ⎟⎟
          ⎜⎜⎜                                                                                                                           ⎟⎟
                                                                                                                                         ⎟⎟
           ⎜⎜ 2 e3(t−τ ) − 2 cos (t − τ ) −             1
                                                            e(
                                                            3 t −τ )
                                                                        + 54 cos (t − τ ) +       3
                                                                                                    e
                                                                                                      3(t −τ )
                                                                                                               −  3
                                                                                                                     cos (t − τ ) +       ⎟⎟
            ⎜⎜ 5                    5                   5                                        10              10
                                                                                                                                           ⎟⎟
             ⎜
       = ⎜⎜− 5 sin (t − τ )  1
                                                        + 52 sin (t − τ )                        + 101 sin (t − τ )                         ⎟⎟ .                (10)
                                                                                                                                             ⎟⎟
             ⎜⎜                                                                                                                               ⎟⎟
              ⎜⎜                                                                                                                               ⎟⎟
               ⎜⎜                                                                                                                               ⎟
                ⎜⎜              2sin (t − τ )                     −4sin (t − τ )                   cos (t − τ ) + sin (t − τ ) ⎟⎟
                                                                                                                                                ⎟⎟
                 ⎜⎜                                                                                                                              ⎟⎟
                  ⎜⎜                                                                                                                              ⎟⎟
                   ⎜⎜                                                                                                                              ⎟⎟
                    ⎜⎜⎝                                                                                                                             ⎟⎟⎠
                                                                                                                                                      ⎟⎟
         ⎜⎜                                                                                                                                            ⎟
        Осуществим построение фундаментальной матрицы Коши, не прибегая
к обращению матрицы Z ( ⋅) . Для этого последовательно решаем три системы

линейных алгебраических уравнений
                                 ⎛ (1) ⎞                                                                   ⎛c(2) ⎞⎟ ⎛ 1 ⎞
         2c1 + 7c2 + 3c3 = 1,  ⎜⎜c1 ⎟⎟ ⎛⎜ 52 ⎞⎟                                      2c1 + 7c2 + 3c3 = 0,  ⎜⎜ 1 ⎟ ⎜ 5 ⎟
                                 ⎜ 1⎟ ⎜ ⎟                                                                   ⎜ 2⎟ ⎜ ⎟
          c1 + c2       = 0, ⇒ ⎜⎜c2( ) ⎟⎟⎟ = ⎜⎜− 52 ⎟⎟⎟ ,                            c1 + c2        = 1, ⇒ ⎜⎜c2( ) ⎟⎟⎟ = ⎜⎜ 54 ⎟⎟⎟ .
                                 ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟                                                                ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟
                                   (1) ⎟                                                                     ⎜⎜c(2) ⎟⎟ ⎝⎜−2⎠⎟
             −10c2 − 4c3 = 0.  ⎜⎝⎜c3 ⎠⎟⎟ ⎝⎜ 1 ⎠⎟                                        −10c2 − 4c3 = 0
                                                                                                              ⎝ 3 ⎠⎟




                                                                              24