Линейные задачи оптимизации. Ч.2. Оптимальное управление линейными динамическими объектами. Лутманов С.В. - 26 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГНИУ | Пермь

Составители: 

Рубрика: 

1. ЛИНЕЙНЫЕ УПРАВЛЯЕМЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ ОБЪЕКТЫ
26
где E - единичная матрица размера
nn×
, называется экспоненциалом матри-
цы
A .
Покажем, что ряд (11) сходится абсолютно для любого фиксированного
1
tR∈ . Действительно, с одной стороны,
!!
,0,1,2,
k
k
k
A
k
A
kk
ttk≤ = ",
а с другой стороны, степенной ряд
23
23
1! 2! 3! !
1
k
AA A A
k
k
tt t t++ + ++ +""
сходится абсолютно при всех
1
tR∈ .
Из абсолютной сходимости ряда (11) следует, что его можно почленно
дифференцировать. Вычисляем
(
)
23 23
23 2
1! 2! 3! ! 1! 2! !
k k
tA k k
AA A A A A A
kk
dd
eEttt t Att t
dt dt
=++++++=+++++="" ""
()
(
)
23 1
23 1
1! 2! 3!
1!
k
kAt
AA A A
k
A
Et t t t Ae
−
−
−
=+++++ +=""
. (12)
Из (12) вытекает справедливость матричного равенства
tA At
d
eAe
dt
=
,
которое означает, что столбцы экспоненциала матрицы
A являются решениями
однородного дифференциального уравнения
x
Ax=
. (13)
В силу очевидного равенства
0
At
t
eE
=
= эти столбцы образуют фундаменталь-
ную систему решений дифференциального уравнения (13). Таким образом,
[
]
(
)
1
,,,
tA
X
te tR
τ
ττ
−
= ∈ .
1.4. Допустимые реализации вектора управляющих параметров.
Пусть управление динамическим объектом осуществляется на промежутке
времени
[
]
0
,tT. Начальную точку траектории
0
x
называют левым концом траек-
тории, а конечную
T
– правым концом траектории. Начальный
0
t и конечный
T моменты времени в общем случае не являются фиксированными. Предпола-
гается, что
1
00
,tRθ∈⊂
1
1
TRθ∈⊂ ,
1
0
sup inf
t
t
tt
θ
θ
∈
∈
< . На левый и правый концы траекто-
рии обычно накладываются ограничение в форме включений 
                        1. ЛИНЕЙНЫЕ УПРАВЛЯЕМЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ ОБЪЕКТЫ

где E - единичная матрица размера n × n , называется экспоненциалом матри-
цы A .
      Покажем, что ряд (11) сходится абсолютно для любого фиксированного
t ∈ R1 . Действительно, с одной стороны,
                                                                  k
                                                                 A      k
                                               Ak
                                               k!   tk ≤         k!   t , k = 0,1, 2," ,

а с другой стороны, степенной ряд
                                                      2                  3                  k
                                          A          A                A                    A
                                    1+    1!   t+    2!    t2 +       3!     t 3 + "+      k!    tk +"

сходится абсолютно при всех t ∈ R1 .
      Из абсолютной сходимости ряда (11) следует, что его можно почленно
дифференцировать. Вычисляем
         d tA d
            e = ( E + 1!A t + A2! t 2 + A3! t 3 + " + Ak ! t k + ") = A + A1! t + A2! t 2 + " + Ak ! t k + " =
                                2         3              k                  2       3              k


         dt    dt

                                      (
                                 = A E + 1!A t + A2! t 2 +
                                                            2
                                                                            A3
                                                                            3!
                                                                                                k −1
                                                                                                          )
                                                                                 t 3 + " + (kA−1)! t k−1 + " = Ae At .   (12)

Из (12) вытекает справедливость матричного равенства
                                                            d tA
                                                               e = Ae At ,
                                                            dt
которое означает, что столбцы экспоненциала матрицы A являются решениями
однородного дифференциального уравнения
                                                             x = Ax .                                                   (13)
В силу очевидного равенства e At t=0 = E эти столбцы образуют фундаменталь-

ную систему решений дифференциального уравнения (13). Таким образом,
                                               X [ t , τ ] = e(
                                                                      t−τ ) A
                                                                                 , t , τ ∈ R1 .

      1.4. Допустимые реализации вектора управляющих параметров.
Пусть управление динамическим объектом осуществляется на промежутке
времени [t0 , T ] . Начальную точку траектории x0 называют левым концом траек-

тории, а конечную xT – правым концом траектории. Начальный t0 и конечный
T моменты времени в общем случае не являются фиксированными. Предпола-

гается, что t0 ∈ θ0 ⊂ R1 , T ∈ θ1 ⊂ R1 , sup t < inf
                                                 t∈θ
                                                     t . На левый и правый концы траекто-
                                                          t∈θ0               1




рии обычно накладываются ограничение в форме включений
                                                                        26

Страницы