Линейные задачи оптимизации. Ч.2. Оптимальное управление линейными динамическими объектами. Лутманов С.В. - 25 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГНИУ | Пермь

Составители: 

Рубрика: 

1. ЛИНЕЙНЫЕ УПРАВЛЯЕМЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ ОБЪЕКТЫ
25
123
12
23
273 0,
0,
10 4 1
ccc
cc
cc
++=
+=⇒
−−=
(
)
()
()
3
3
1
10
3
3
2
10
1
3
2
3
c
c
c
⎛⎞
⎛⎞
⎟
⎜
⎟
⎟
⎜
⎜
⎟
⎟
⎜
⎜
⎟
⎟
⎜
⎜
⎟
⎟
= −
⎜
⎜
⎟
⎟
⎜
⎜
⎟
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎝⎠
⎟
⎜
⎟
⎜
⎝⎠
⎟
.
По формуле (9) определяем столбцы фундаментальной матрицы Коши
()
[]
()
()
()
() ()
() ()
() ()
()
() ()
3
13
2
7cos sin 3cos sin
22
,cos2sinsin
55
0 10cos 4cos 2sin
t
t
e
tt tt
xt e t t t t
tt
τ
τ
ττ ττ
τττττ
ττ
−
−
⎛⎞
−+ − −− −
⎛⎞⎛ ⎞
⎜⎟
⎜⎟⎜ ⎟
=⋅⎜ ⎟− − ⋅ − − − + − − =
⎜⎟⎜ ⎟
⎜⎟
⎜⎟⎜ ⎟
−−−+−
⎜⎟
⎝⎠⎝ ⎠
⎝⎠
()
() ()
()
() ()
()
3
7
41
55 5
3
22 1
55 5
cos sin
cos sin
2sin
t
t
ett
ett
t
τ
τ
τ
τ
τ
τ
τ
−
−
⎛⎞
+−−−
⎜⎟
=⎜ − − − − ⎟
⎜⎟
−
⎜⎟
⎝⎠
,
()
[]
()
()
() ()
() ()
()
() ()
()
() ()
3
23
2
7cos sin 3cos sin
14
,cos2sin2sin
55
0 10cos 4cos 2sin
t
t
e
tt tt
xt e t t t
ttt
τ
τ
ττ ττ
ττττ
τττ
−
−
⎛⎞
−+ − −− −
⎛⎞⎛ ⎞
⎜⎟
⎜⎟⎜ ⎟
=⋅⎜ ⎟+⋅ − − − −⋅ − − =
⎜⎟⎜ ⎟
⎜⎟
⎜⎟⎜ ⎟
−− −−+−
⎜⎟
⎝⎠⎝ ⎠
⎝⎠
()
() ()
()
() ()
()
3
22 14
55 5
3
14 2
55 5
cos sin
cos sin
4sin
t
t
et t
ett
t
τ
τ
τ
τ
τ
τ
τ
−
−
⎛⎞
−−+−
⎜⎟
=⎜ + − + − ⎟
⎜⎟
−−
⎜⎟
⎝⎠
,
()
[]
()
()
() ()
() ()
()
() ()
()
() ()
3
33
2
7cos sin 3cos sin
33 1
,cos2sinsin
10 10 2
0 10cos 4cos 2sin
t
t
e
tt tt
xt e t t t
ttt
τ
τ
ττ ττ
ττττ
τττ
−
−
⎛⎞
−+ − −− −
⎛⎞⎛ ⎞
⎜⎟
⎜⎟⎜ ⎟
=⋅⎜ ⎟−⋅ −− − +⋅ − − =
⎜⎟⎜ ⎟
⎜⎟
⎜⎟⎜ ⎟
−− −−+−
⎜⎟
⎝⎠⎝ ⎠
⎝⎠
()
() ()
()
() ()
() ()
3
33
4
55 5
3
33
1
10 10 10
cos sin
cos sin
cos sin
t
t
ett
ett
tt
τ
τ
ττ
τ
τ
ττ
−
−
⎛⎞
−−−−
⎜⎟
=⎜ − − + − ⎟
⎜⎟
−+ −
⎜⎟
⎝⎠
.
Получили совпадение с формулой (10). Непосредственно убеждаемся,
что равенства (1)-(4) выполняются (см. приложение).
В случае
Aconst= дадим другую интерпретацию для фундаментальной
матрицы Коши.
Определение 4. Квадратная матрица
tA
e , определенная степенным ря-
дом
23
23
1! 2! 3! !
k
tA k
AA A A
k
eEt t t t=+ + + ++ +"" , (11) 
                         1. ЛИНЕЙНЫЕ УПРАВЛЯЕМЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ ОБЪЕКТЫ

                                                               ⎛c(3) ⎞⎟ ⎛ 3 ⎞
                                     2c1 + 7c2 + 3c3 = 0,      ⎜⎜ 1 ⎟ ⎜ 10 ⎟
                                                                ⎜ 3⎟ ⎜              ⎟
                                      c1 + c2        = 0, ⇒ ⎜⎜c2( ) ⎟⎟⎟ = ⎜⎜− 103 ⎟⎟⎟ .
                                                             ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜             ⎟
                                                                  (3) ⎟      1 ⎟
                                         −10c2 − 4c3 = 1      ⎜⎝⎜c3 ⎠⎟⎟ ⎜⎝ 2 ⎠⎟

        По формуле (9) определяем столбцы фундаментальной матрицы Коши
                ⎛ 2e3( t −τ ) ⎞               ⎛ 7 cos ( t − τ ) + sin ( t − τ ) ⎞ ⎛ 3cos ( t − τ ) − sin ( t − τ ) ⎞
              2 ⎜ 3(t −τ ) ⎟ 2                ⎜                                 ⎟ ⎜                                   ⎟
   x [t ,τ ] = ⋅⎜ e
    (1)
                              ⎟ − ( t − τ ) ⋅ ⎜ cos ( t − τ ) − 2sin ( t − τ ) ⎟ + ⎜        − sin ( t − τ )           ⎟=
              5 ⎜             ⎟ 5             ⎜                                 ⎟ ⎜ −4 cos ( t − τ ) + 2sin ( t − τ ) ⎟
                ⎜ 0 ⎟                         ⎝           −10 cos               ⎠ ⎝                                   ⎠
                ⎝             ⎠
                                       ⎛ 54 e3( t −τ ) + 15 cos ( t − τ ) − 75 sin ( t − τ ) ⎞
                                       ⎜ 3 t −τ                                              ⎟
                                     = ⎜ 52 e ( ) − 52 cos ( t − τ ) − 15 sin ( t − τ ) ⎟ ,
                                       ⎜                                                     ⎟
                                       ⎜                     2sin ( t − τ )                  ⎟
                                       ⎝                                                     ⎠

                       ⎛ 2e3( t −τ ) ⎞   ⎛ 7 cos ( t − τ ) + sin ( t − τ ) ⎞  ⎛ 3cos ( t − τ ) − sin ( t − τ ) ⎞
                     1 ⎜             ⎟ 4 ⎜                                 ⎟  ⎜                                   ⎟
       x( ) [t ,τ ] = ⋅⎜ e ( ) ⎟ + ⋅ ⎜ cos ( t − τ ) − 2sin ( t − τ ) ⎟ − 2 ⋅ ⎜         − sin ( t − τ )
         2                3 t − τ

                     5 ⎜                                                                                          ⎟=
                                     ⎟ 5 ⎜                                 ⎟  ⎜ −4 cos ( t − τ ) + 2sin ( t − τ ) ⎟
                       ⎜ 0 ⎟             ⎝      −10 cos ( t − τ )          ⎠  ⎝                                   ⎠
                       ⎝             ⎠
                                       ⎛ 52 e3( t −τ ) − 52 cos ( t − τ ) + 145 sin ( t − τ ) ⎞
                                       ⎜ 3 t −τ                                               ⎟
                                     = ⎜ 15 e ( ) + 54 cos ( t − τ ) + 52 sin ( t − τ ) ⎟ ,
                                       ⎜                                                      ⎟
                                       ⎜                    −4sin ( t − τ )                   ⎟
                                       ⎝                                                      ⎠

                    ⎛ 2e3( t −τ ) ⎞     ⎛ 7 cos ( t − τ ) + sin ( t − τ ) ⎞    ⎛ 3cos ( t − τ ) − sin ( t − τ ) ⎞
                  3 ⎜ 3(t −τ ) ⎟ 3 ⎜                                      ⎟ 1 ⎜                                    ⎟
      x [t ,τ ] = ⋅⎜ e
       ( 3)
                                  ⎟ − ⋅ ⎜ cos ( t − τ ) − 2sin ( t − τ ) ⎟ + ⋅ ⎜         − sin ( t − τ )           ⎟=
                 10 ⎜             ⎟ 10 ⎜                                  ⎟ 2 ⎜                                    ⎟
                    ⎜ 0 ⎟               ⎝       −10 cos ( t − τ )         ⎠    ⎝ −4 cos ( t − τ ) + 2sin ( t − τ ) ⎠
                    ⎝             ⎠
                                      ⎛ 53 e3( t −τ ) − 53 cos ( t − τ ) − 54 sin ( t − τ ) ⎞
                                      ⎜ 3 t −τ                                              ⎟
                                    = ⎜ 103 e ( ) − 103 cos ( t − τ ) + 101 sin ( t − τ ) ⎟ .
                                      ⎜                                                     ⎟
                                      ⎜             cos ( t − τ ) + sin ( t − τ )           ⎟
                                      ⎝                                                     ⎠

        Получили совпадение с формулой (10). Непосредственно убеждаемся,
что равенства (1)-(4) выполняются (см. приложение).
        В случае A = const дадим другую интерпретацию для фундаментальной
матрицы Коши.
        Определение 4. Квадратная матрица etA , определенная степенным ря-
дом
                                   etA = E + 1!A t + A2! t 2 + A3! t 3 + " + Ak! t k + " ,                              (11)
                                                           2         3                k




                                                                25

Страницы