Линейные задачи оптимизации. Ч.2. Оптимальное управление линейными динамическими объектами. Лутманов С.В. - 23 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГНИУ | Пермь

Составители: 

Рубрика: 

1. ЛИНЕЙНЫЕ УПРАВЛЯЕМЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ ОБЪЕКТЫ
23
Для каждого номера
{}
ni ,,1 ∈ составим систему линейных алгебраических
уравнений
(
)
(
)
(
)
(
)
1
11 1
0
n
n
cx c x
ττ
+
+= ,
…………………………..
(
)
(
)
(
)
(
)
1
1
1
n
ini
cx c x
ττ
+
+= ,
………………………….
(
)
(
)
(
)
(
)
1
1
0
n
nnn
cx c x
ττ
+
+= ,
[
]
Tt ,
0
∈
τ
(8)
относительно переменных
n
cc ,,
1
. Эта система имеет решение при всех
[]
Tt ,
0
∈
τ
, т. к. ее определитель отличен от нуля при всех
[]
Tt ,
0
∈
τ
. Пусть
(
)
()
,, 1,,,
i
k
ckin
τ
=
[]
Tt ,
0
∈
τ
– решение системы (8). Положим
()
[]
()
()
()
()
()
()
()
()
()
()
()
()
()
()
()
()
[]
1
11 1
0
1
11 1
, ................................ , , , , 1, ,
iin
n
i
iin
n
cxt cxt
x
tttTin
cxt cxt
ττ
ττ
ττ
⎛⎞
++
⎜⎟
=∈=
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
++
⎝⎠
.
Вектор
()
[]
τ
,tx
i
представляет собой i -й, ni ,,1
, столбец фундаментальной мат-
рицы Коши.
В случае, когда матрица
A
постоянна в алгоритме построения фундамен-
тальной матрицы Коши система алгебраических уравнений (8) заменяется на
следующую систему:
(
)
(
)
(
)
(
)
1
11 1
000
n
n
cx c x
+
+= ,
…………………………..
(
)
(
)
(
)
(
)
1
1
001
n
ini
cx c x
+
+= ,
………………………….
(
)
(
)
(
)
(
)
1
1
000
n
nnn
cx c x
+
+= .
Пусть
(
)
,, 1, ,
i
k
cik n= – ее решение. Столбцы фундаментальной матрицы Коши
строятся по формуле 
                              1. ЛИНЕЙНЫЕ УПРАВЛЯЕМЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ ОБЪЕКТЫ

        Для каждого номера i ∈ {1, , n} составим систему линейных алгебраических
уравнений
                                                      c1 x1( ) (τ ) +       + cn x1(        (τ ) = 0 ,
                                                           1                           n)



                                                    …………………………..
                                                      c1 xi( ) (τ ) +       + cn xi(        (τ ) = 1 ,
                                                           1                           n)



                                                     ………………………….
                                                      c1 xn( ) (τ ) +       + cn xn(        (τ ) = 0 ,
                                                           1                           n)



                                                                         τ ∈ [t 0 , T ]                                               (8)
относительно переменных c1 , , c n . Эта система имеет решение при всех
τ ∈ [t 0 , T ] , т. к. ее определитель отличен от нуля при всех τ ∈ [t 0 , T ] . Пусть

ck( ) (τ ) , k , i = 1,   , n, τ ∈ [t 0 , T ] – решение системы (8). Положим
  i



                                     ⎛ c1( i ) (τ ) x1(1) ( t ) + + cn( i ) (τ ) x1( n ) ( t ) ⎞
                                     ⎜                                                         ⎟
                    x ( ) [ t ,τ ] = ⎜                                                         ⎟ , t ,τ ∈ [t0 , T ] , i = 1,   ,n .
                       i
                                                   ................................
                                     ⎜⎜ ( i )                                                  ⎟⎟
                                      ⎝ c1 (τ ) x1 ( t ) + + cn (τ ) x1 ( t ) ⎠
                                                      (1)                 (i )      (n)


Вектор x (i ) [t ,τ ] представляет собой i -й, i = 1, , n , столбец фундаментальной мат-
рицы Коши.
        В случае, когда матрица A постоянна в алгоритме построения фундамен-
тальной матрицы Коши система алгебраических уравнений (8) заменяется на
следующую систему:
                                                      c1 x1( ) ( 0 ) +      + cn x1(        (0) = 0 ,
                                                           1                           n)



                                                    …………………………..
                                                      c1 xi( ) ( 0 ) +      + cn xi(        ( 0) = 1 ,
                                                           1                           n)



                                                     ………………………….
                                                      c1 xn( ) ( 0 ) +      + cn xn(        (0) = 0 .
                                                           1                           n)




Пусть ck(i ) , i, k = 1, , n – ее решение. Столбцы фундаментальной матрицы Коши
строятся по формуле




                                                                            23

Страницы