Линейные задачи оптимизации. Ч.2. Оптимальное управление линейными динамическими объектами. Лутманов С.В. - 28 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГНИУ | Пермь

Составители: 

Рубрика: 

1. ЛИНЕЙНЫЕ УПРАВЛЯЕМЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ ОБЪЕКТЫ
28
Нетрудно сообразить, что время перехода будет минимальным, когда
поезд до половины пути разгоняется с максимальным ускорением
(
)
1ut =+
, а
вторую половину максимально затормаживается, т.е.
(
)
1ut = − . Таким обра-
зом, реализация оптимального управления в данном случае имеет вид
()
[)
[]
1
0
2
0
1
2
1, , ,
1, , ,
ttT
ut
tTT
⎧
+ ∈
⎪
⎪
=
⎨
⎪
−∈
⎪
⎩
Функция
(
)
[
]
0
0
,,utt tT∈ терпит разрыв в точке
1
2
T .
Из опыта решения прикладных задач следует, что реализации вектора управ-
ляющих воздействий принадлежат классу
[
]
0
0
,CtT – кусочно-непрерывных
функций, то есть таких функций
[
]
r
RTtu →,:
0
, которые непрерывны в каждой точ-
ке
[]
Ttt ,
0
∈ , за исключением, быть может, конечного числа точек
[
]
Tt
m
,,,
01
∈
τ
τ
, в
которых функция
()
⋅u терпит разрывы первого рода. В этих точках существуют
конечные пределы
(
)
(
)
0)(lim,0)(lim
00
+
=
−
=
+→−→
i
t
i
t
utuutu
ii
ττ
,
но
()()
miuu
ii
,,1,00 =+≠−
τ
τ
. В теории оптимального управления принимается,
что в точках разрыва реализации вектора управляющих воздействий непре-
рывны справа. Таким образом,
(
)
miutu
i
t
i
,,1,)(lim
0
=
=
+→
τ
τ
.
Определение 5. Реализация
()
u ⋅
вектора управляющих воздействий назы-
вается допустимой, если
() [ ]
0
0
,uCtT⋅∈ , функция
()
u ⋅ непрерывна справа в точках
разрыва и выполнено условие
(
)
[
]
0
,,
r
ut P R t t T∈⊂ ∈ .
Определение 6. Движением линейного динамического объекта, отве-
чающим допустимой реализации вектора управляющих воздействий
()
u ⋅ и вы-
ходящим из начального положения
(
)
000
x
St∈ , называется решение следующей
задачи Коши для векторного дифференциального уравнения
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
00
,
x
At x Btut Ct xt x=+ + =
. (1)
Это движение будем обозначать символом
()
(
)
00
,, ,
x
txu⋅⋅. 
                    1. ЛИНЕЙНЫЕ УПРАВЛЯЕМЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ ОБЪЕКТЫ

       Нетрудно сообразить, что время перехода будет минимальным, когда
поезд до половины пути разгоняется с максимальным ускорением u (t ) = +1 , а

вторую половину максимально затормаживается, т.е. u (t ) = −1 . Таким обра-

зом, реализация оптимального управления в данном случае имеет вид
                                                    ⎧⎪+1, t ∈ [ t0 , 12 T ) ,
                                           u (t ) = ⎪
                                              0
                                                     ⎨
                                                     ⎩−1, t ∈ [ 2 T , T ],
                                                     ⎪           1
                                                     ⎪

Функция u 0 (t ), t ∈ [t0 , T ] терпит разрыв в точке 12 T .

     Из опыта решения прикладных задач следует, что реализации вектора управ-
ляющих воздействий принадлежат классу C 0 [t0 , T ] – кусочно-непрерывных

функций, то есть таких функций u : [t 0 , T ] → R r , которые непрерывны в каждой точ-
ке t ∈ [t 0 , T ] , за исключением, быть может, конечного числа точек τ 1 , ,τ m ∈ [t 0 , T ] , в
которых функция u (⋅) терпит разрывы первого рода. В этих точках существуют
конечные пределы
                             lim u (t ) = u (τ i − 0),         lim u (t ) = u (τ i + 0) ,
                            t →τ i − 0                       t →τ i + 0


но u(τ i − 0) ≠ u(τ i + 0), i = 1, , m . В теории оптимального управления принимается,
что в точках разрыва реализации вектора управляющих воздействий непре-
рывны справа. Таким образом,
                                          lim u(t ) = u (τ i ), i = 1,      ,m .
                                         t →τ i + 0


       Определение 5. Реализация u (⋅) вектора управляющих воздействий назы-

вается допустимой, если u (⋅) ∈ C 0 [t0 , T ] , функция u (⋅) непрерывна справа в точках

разрыва и выполнено условие u (t ) ∈ P ⊂ R r , t ∈ [t0 , T ] .

       Определение 6. Движением линейного динамического объекта, отве-
чающим допустимой реализации вектора управляющих воздействий u (⋅) и вы-

ходящим из начального положения x0 ∈ S0 (t0 ) , называется решение следующей

задачи Коши для векторного дифференциального уравнения
                                  x = A(t ) x + B (t ) u (t ) + C (t ) ,       x (t0 ) = x0 .   (1)

Это движение будем обозначать символом x (⋅, t0 , x0 , u (⋅)) .

                                                          28

Страницы