Линейные задачи оптимизации. Ч.2. Оптимальное управление линейными динамическими объектами. Лутманов С.В. - 29 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГНИУ | Пермь

Составители: 

Рубрика: 

1. ЛИНЕЙНЫЕ УПРАВЛЯЕМЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ ОБЪЕКТЫ
29
Кусочно-непрерывная реализация вектора управляющих воздействий не
гарантирует непрерывность по переменной
t правой части дифференциального
уравнения (1), поэтому условия классической теоремы существования и един-
ственности решения задачи Коши для дифференциального уравнения здесь не
выполняются. В связи с этим предлагается следующая процедура построения
движения динамического объекта, отвечающего реализации вектора управ-
ляющих воздействий
()
[
]
0
0
,uCtT⋅∈ и выходящего из начального положения
()
000
x
St∈ . Пусть
[]
Tt
m
,,,
01
∈
τ
τ
- точки разрыва функции
(
)
u ⋅ . Движение объекта
на полуинтервале
[
)
10
,
τ
t отождествим с решением задачи Коши
(
)
(
)
(
)
(
)
[
)
00 01
,() , ,xAtxBtut Ctxt xttτ=+ + =∈
.
В силу непрерывности управления
(
)
⋅
u на полуинтервале
[
)
10
,
τ
t сформулиро-
ванная задача Коши имеет решение и притом единственное. Доопределим фа-
зовый вектор в момент времени
1
τ
по непрерывности, положив
(
)
)(lim
0
11
1
txxx
t −→
τ
τ
.
Движение объекта на полуинтервале
[
)
21
,
τ
τ
отождествим с решением задачи Ко-
ши
(
)
(
)
(
)
(
)
[
)
11 12
,() , ,xxAtxBtut Ct x xtτττ== + + = ∈

,
которое также существует и единственно. Фазовый вектор в момент времени
2
τ
снова доопределим по непрерывности
()
)(lim
0
22
2
txxx
t −→
==
τ
τ
.
Аналогичные построения
производятся на каждом по-
луинтервале времени
[
)
mi
ii
,,1,,
1
=
−
τ
τ
.
В результате получим
искомое движение динамиче-
ского объекта (см. рис 5). В
книге [7] приводится теорема
2
τ
…..
m
x
1
x
2
x
O
t
x
0
t
1
τ
m
τ
T
Рис. 5 
                      1. ЛИНЕЙНЫЕ УПРАВЛЯЕМЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ ОБЪЕКТЫ

      Кусочно-непрерывная реализация вектора управляющих воздействий не
гарантирует непрерывность по переменной t правой части дифференциального
уравнения (1), поэтому условия классической теоремы существования и един-
ственности решения задачи Коши для дифференциального уравнения здесь не
выполняются. В связи с этим предлагается следующая процедура построения
движения динамического объекта, отвечающего реализации вектора управ-
ляющих воздействий u ( ⋅) ∈ C 0 [t0 , T ] и выходящего из начального положения

x0 ∈ S0 (t0 ) . Пусть τ 1 ,    ,τ m ∈ [t 0 , T ] - точки разрыва функции u (⋅) . Движение объекта

на полуинтервале [t 0 ,τ 1 ) отождествим с решением задачи Коши
                           x = A(t ) x + B (t ) u (t ) + C (t ) , x (t0 ) = x0 , t ∈ [ t0 , τ1 ) .

В силу непрерывности управления u (⋅) на полуинтервале [t 0 ,τ 1 ) сформулиро-
ванная задача Коши имеет решение и притом единственное. Доопределим фа-
зовый вектор в момент времени τ 1 по непрерывности, положив
                                               x1 = x (τ 1 ) = lim x (t ) .
                                                                  t →τ 1 − 0


Движение объекта на полуинтервале [τ 1 ,τ 2 ) отождествим с решением задачи Ко-
ши
                       x = x = A(t ) x + B (t ) u (t ) + C (t ) , x ( τ1 ) = x1 , t ∈ [ τ1 , τ 2 ) ,

которое также существует и единственно. Фазовый вектор в момент времени τ 2
снова доопределим по непрерывности
                                                                                         x 2 = x (τ 2 ) = lim x (t ) .
                                                                                                             t →τ 2 − 0


     x                                                                             Аналогичные                      построения
                                                                                   производятся на каждом по-
                          x1                                                       луинтервале времени
                                                        xm
                                                                                           [τ i −1 ,τ i ), i = 1,     ,m .

                                         τ 2 …..                               t       В      результате                  получим
     O      t0          τ1                              τm           T             искомое движение динамиче-
                                          x2                                       ского объекта (см. рис 5). В
                               Рис. 5                                              книге [7] приводится теорема

                                                             29

Страницы