Линейные задачи оптимизации. Ч.2. Оптимальное управление линейными динамическими объектами. Лутманов С.В. - 31 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГНИУ | Пермь

Составители: 

Рубрика: 

1. ЛИНЕЙНЫЕ УПРАВЛЯЕМЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ ОБЪЕКТЫ
31
Рис 6.
Итоговая конструкция изображена на рис. 6.
1.5. Формула Коши. Рассмотрим линейный управляемый динамический
объект, динамика которого описывается дифференциальным уравнением (1.2).
Пусть
1
,ts R∈
,
n
x
R
∗
∈
,
(
)
01
uCR
⎡
⎤
⋅∈
⎢
⎥
⎣
⎦
. Для движения
()
(
)
()
,, ,xxsxu
∗
⋅= ⋅ ⋅ этого
объекта справедливо следующее утверждение.
Теорема 4 (Формула Коши). Для всех
1
tR
∈
, в которых реализация вектора
управляющих воздействий
()
u ⋅ непрерывна, имеет место равенство
[ ] [ ]()() [ ]()
1
() , , , ,
tt
ss
x
tXtsx XtBud XtCdtRττ ττ τττ
∗
=+ + ∈
∫∫
. (1)
Доказательство. Требуется доказать следующие два равенства:
(
)
x
sx
∗
,
() () () () () ()
1
,
d
x
tAtxtBtutCttR
dt
=++∈
.
Первое из них следует непосредственно из теоремы 3 (равенство (3.1)), а
второе доказывается путем дифференцирования по аргументу
t правой части
равенства (1). Действительно,
() [] []()() []()
,, ,
tt
ss
dd d d
xt Xtsx Xt B u d Xt C d
dt dt dt dt
ττ ττ τ ττ
∗
=+ + =
∫∫
1 2 3 4
-1
-0.5
0.5
1
1.5
2
2.5
                     1. ЛИНЕЙНЫЕ УПРАВЛЯЕМЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ ОБЪЕКТЫ

       2.5
           2
       1.5
           1
       0.5

                                     1                         2                       3                   4
     -0.5
         -1

                                                      Рис 6.
Итоговая конструкция изображена на рис. 6.
     1.5. Формула Коши. Рассмотрим линейный управляемый динамический
объект, динамика которого описывается дифференциальным уравнением (1.2).
    Пусть t , s ∈ R1 , x∗ ∈ R n , u (⋅) ∈ C 0 ⎡⎣⎢ R1 ⎤⎦⎥ . Для движения x ( ⋅) = x ( ⋅, s, x∗ , u ( ⋅) ) этого

объекта справедливо следующее утверждение.
    Теорема 4 (Формула Коши). Для всех t ∈ R1 , в которых реализация вектора
управляющих воздействий u ( ⋅) непрерывна, имеет место равенство
                                       t                               t

               x(t ) = X [t , s ] x∗ + ∫ X [t , τ ]B (τ ) u (τ ) d τ + ∫ X [t , τ ]C (τ ) d τ , t ∈ R1 .       (1)
                                       s                               s


    Доказательство. Требуется доказать следующие два равенства:
                                                     x ( s ) = x∗ ,

                              d
                                 x (t ) = A(t ) x (t ) + B (t ) u (t ) + C (t ) , t ∈ R1 .
                              dt
    Первое из них следует непосредственно из теоремы 3 (равенство (3.1)), а
второе доказывается путем дифференцирования по аргументу t правой части
равенства (1). Действительно,
                                              t                                   t
           d          d               d                               d
              x (t ) = X [t , s ] x∗ + ∫ X [t , τ ]B (τ ) u (τ ) d τ + ∫ X [t , τ ] C (τ ) d τ =
           dt         dt              dt s                            dt s

                                                          31

Страницы