Линейные задачи оптимизации. Ч.2. Оптимальное управление линейными динамическими объектами. Лутманов С.В. - 33 стр.

                  1. ЛИНЕЙНЫЕ УПРАВЛЯЕМЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ ОБЪЕКТЫ

                                      ⎛1 0⎞⎟                   ⎛1 t − τ ⎞⎟
                  C (t ) = 0, B(t ) = ⎜⎜     ⎟⎟ , X [t , τ ] = ⎜⎜        ⎟ , t , τ ∈ R1 .
                                       ⎝⎜0 1⎠⎟                 ⎝⎜0  1 ⎠⎟⎟

Подставляя последние выражения в формулу (1), получим
                     ⎛ x1 (t ) ⎞ ⎛ 1 t ⎞ ⎛1⎞ t ⎛ 1 t − τ ⎞ ⎛ 1 0 ⎞ ⎛ τ ⎞
                     ⎜⎜         ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ + ∫ ⎜⎜    ⎟⎜        ⎟ ⎜ ⎟ dτ =
                      ⎝ x 2 (t )⎠ ⎝ 0 1⎠ ⎝1⎠ 0 ⎝ 0      1 ⎟⎠ ⎜⎝ 0 1 ⎟⎠ ⎜⎝ 2τ ⎟⎠

                  ⎛1 + t ⎞ t ⎛ 1 t − τ ⎞ ⎛ τ ⎞        ⎛1 + t ⎞ t ⎛τ + 2tτ − 2τ 2 ⎞
               = ⎜⎜      ⎟⎟ + ∫ ⎜⎜     ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ dτ = ⎜⎜      ⎟⎟ + ∫ ⎜⎜           ⎟ dτ =
                                                                                 ⎟
                  ⎝  1    ⎠ 0⎝     0 1  ⎠⎝ ⎠2τ        ⎝  1    ⎠ 0⎝      2τ       ⎠

                               ⎛1           2 ⎞ ⎛1         1          ⎞
                     ⎛ 1 + t ⎞ ⎜ t 2 + t 3 − t 3 ⎟ ⎜ t 3 + t 2 + t + 1⎟
                   = ⎜       ⎟+⎜ 2          3      = 3     2            , t ∈ R1 .
                     ⎝   1   ⎠ ⎜                 ⎟
                                                 ⎟ ⎜⎜                 ⎟
                                                                      ⎟
                               ⎝       t2        ⎠ ⎝      t2 +1       ⎠

Искомое совпадение установлено.
      1.6. Критерии качества управления динамическими объектами. Цель
управления динамическим объектом состоит в оптимизации некоторого крите-
рия качества, который формализуется в виде функционала, определенного на
множестве реализаций вектора управляющих параметров и отвечающих им
движений объекта. Обычно функционал представляет собой следующее выра-
жение:
                            T

                            ∫ f (τ , x(τ ), u(τ )) dτ + Φ(t
                            t0
                                 0                            0   , x0 , T , x(T )) ,       (1)

где f 0 : R n+ r +1 → R 1 , Φ : R 2(n +1) → R1 - заданные функции, непрерывные по сово-
купности своих аргументов. Первое слагаемое в (1) называется интегральным, а
второе – терминальным.
     Определение 7. Функционал (1) называется функционалом Больца. В ча-
стности, если f 0 ≡ 0 , то функционал (1) называют функционалом Майера, а ес-
ли Φ ≡ 0 , то - функционалом Лагранжа.
     Задача управления, в которой критерий качества имеет вид функционала
Лагранжа с подынтегральной функцией f 0 ≡ 1 , называется задачей на предель-
ное быстродействие.
      Пусть задан критерий (1). Уточним схему, в соответствии с которой,
можно оценить качество управления динамическим объектом в случае, когда
известно дифференциальное уравнение движения объекта (1.2), промежуток
                                                    33